Bài 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi H là hình chiếu của 4 trên cạnh BC. Chứng minh rằng H cũng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Bài 3. Cho tam giác ABC đều có / là điểm cách...

Bài 2. Trước tiên, ta nhận thấy rằng tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, do đó góc BAC = 90° và AB = AC. Hình chiếu của A trên cạnh BC là điểm H, nghĩa là AH vuông góc với BC. Ta sẽ chứng minh rằng H cũng là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Bước 1: Chứng minh H nằm trên đường trung trực của AB. - Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, nên góc BAC = 90° và AB = AC. - AH vuông góc với BC, do đó AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. - Trong tam giác vuông cân, đường cao hạ từ đỉnh vuông góc đến cạnh huyền cũng là đường trung trực của cạnh huyền. Do đó, AH là đường trung trực của BC. - Điều này có nghĩa là H nằm trên đường trung trực của BC. Bước 2: Chứng minh H nằm trên đường trung trực của AC. - Tương tự như trên, vì AH vuông góc với BC, nên AH cũng là đường trung trực của AC. - Điều này có nghĩa là H nằm trên đường trung trực của AC. Bước 3: Chứng minh H nằm trên đường trung trực của AB. - Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, nên AB = AC. - AH vuông góc với BC, do đó AH cũng là đường trung trực của AB. - Điều này có nghĩa là H nằm trên đường trung trực của AB. Từ các bước trên, ta đã chứng minh rằng H nằm trên cả ba đường trung trực của tam giác ABC. Do đó, H cũng là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Đáp số: H là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Bài 3. Xét tam giác ABC đều, ta có góc A = góc B = góc C = 60°. Vì I là điểm cách đều ba cạnh AB, BC, CA nên I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Do đó, IA, IB, IC lần lượt là tia phân giác của các góc A, B, C. Vì tam giác ABC đều nên các tia phân giác IA, IB, IC cũng là trung tuyến và đường cao của tam giác ABC. Vậy I là điểm cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC. Bài 4. Gọi tam giác ABC là tam giác vuông tại A, đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh huyền BC là AD. Ta cần chứng minh các đường trung trực của tam giác ABC đi qua trung điểm của cạnh huyền BC. Bước 1: Xác định trung điểm của cạnh huyền BC. - Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC. Vậy BM = MC. Bước 2: Chứng minh đường trung trực của cạnh AB đi qua M. - Đường trung trực của cạnh AB là đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm của AB. - Vì M là trung điểm của BC, nên M cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối giữa chân đường cao AD và đỉnh C. - Do đó, đường trung trực của AB sẽ đi qua M. Bước 3: Chứng minh đường trung trực của cạnh AC đi qua M. - Đường trung trực của cạnh AC là đường thẳng vuông góc với AC tại trung điểm của AC. - Vì M là trung điểm của BC, nên M cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối giữa chân đường cao AD và đỉnh B. - Do đó, đường trung trực của AC sẽ đi qua M. Bước 4: Kết luận. - Như vậy, ta đã chứng minh được rằng các đường trung trực của tam giác ABC đều đi qua trung điểm của cạnh huyền BC. Đáp số: Các đường trung trực của tam giác ABC đi qua trung điểm của cạnh huyền BC. Bài 5. a) Ta có Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PN nên Oy đi qua đỉnh N và vuông góc với PN tại Q. Do đó ta có: $$ Tương tự, ta cũng có: $$ Vậy ta có: $$ Do đó tam giác PQN và tam giác PQM có: - Cạnh chung PQ - $$ - Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PN nên QN = QP Vậy tam giác PQN và tam giác PQM bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông) Do đó ta có: MN = MQ + QN = MQ + QP = MP Vậy tam giác MNP cân tại P. b) Ta có: $$ $$ Vì tam giác MNP cân tại P nên: $$ Vậy ta có: $$ Vậy tia PO là tia phân giác của góc RPS. Bài 6. a) Xét tam giác AOB và AOM: - OA chung - OB = OM (vì O thuộc đường trung trực của AB) - góc OAB = góc OAM (vì O thuộc đường trung trực của AB) Do đó, tam giác AOB = tam giác AOM (cạnh huyền - cạnh góc vuông) Tương tự, xét tam giác AOC và AON: - OA chung - OC = ON (vì O thuộc đường trung trực của AC) - góc OAC = góc OAN (vì O thuộc đường trung trực của AC) Do đó, tam giác AOC = tam giác AON (cạnh huyền - cạnh góc vuông) b) Từ phần a), ta có: - góc OAM = góc OAB (vì tam giác AOB = tam giác AOM) - góc OAN = góc OAC (vì tam giác AOC = tam giác AON) Mà góc BAM + góc CAN = 180° - góc BAC (vì tổng các góc trong tam giác ABC là 180°) Do đó, góc OAM + góc OAN = 180° - góc BAC Như vậy, tia AO là tia phân giác của góc MAN. Bài 7. a) Ta có BD = CD (d là đường trung trực của BC) Mà AD là đoạn thẳng nên AD + BD > AB (tổng hai cạnh của tam giác lớn hơn cạnh còn lại) Suy ra AC > AB b) Ta có MD = BD (d là đường trung trực của BC) Mà trong tam giác AMD ta có MA + MD > AD (tổng hai cạnh của tam giác lớn hơn cạnh còn lại) Suy ra MA + BD > AD Tương tự trong tam giác CMD ta có MC + MD > CD Suy ra MC + BD > CD Cộng vế với vế ta được: MA + BD + MC + BD > AD + CD Suy ra MA + MC + 2BD > AC Mà AC = AD + CD nên thay vào ta được: MA + MC + 2BD > AD + CD Suy ra MA + MC + 2BD > AD + BD Suy ra MA + MC + BD > AD Suy ra MA + MB > AD + BD