A. ĐẠI SỐ I. Trắc nghiệm Câu 1. Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là đơn thức một biến: A. B. C. 7,8 D. Câu 2. Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là đa thức một biến. A. B. C. D. Câu 3. Biểu...

Câu 1. Để xác định biểu thức nào là đơn thức một biến, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa của đơn thức một biến. Đơn thức một biến là biểu thức đại số chỉ chứa một biến và các hằng số, đồng thời các phép toán trong biểu thức chỉ bao gồm nhân, chia, lũy thừa và trừ. Cụ thể, chúng ta sẽ kiểm tra từng biểu thức: A. $$ - Đây là đa thức vì nó chứa hai hạng tử $$ và $$. B. $$ - Đây là đơn thức một biến vì nó chỉ chứa một biến $$ và một hằng số $$. C. $$ - Đây là hằng số, không phải đơn thức một biến vì không có biến. D. $$ - Đây là phân thức, không phải đơn thức một biến vì nó chứa phép chia giữa hằng số và biến. Vậy, biểu thức là đơn thức một biến là: B. $$ Đáp án: B. $$ Câu 2. Để xác định biểu thức nào là đa thức một biến, chúng ta cần kiểm tra từng biểu thức theo các tiêu chí của đa thức một biến. Một đa thức một biến là biểu thức đại số chỉ chứa một biến và các hằng số, với các phép toán cộng, trừ, nhân, lũy thừa (với số mũ là số tự nhiên). A. $$ - Đây là một biểu thức đại số chỉ chứa biến $$ và các hằng số, với các phép toán cộng và nhân. Các số mũ của $$ đều là số tự nhiên (2 và 1). Do đó, đây là đa thức một biến. B. $$ - Đây là một biểu thức đại số chứa hai biến $$ và $$. Vì có hai biến, nên đây không phải là đa thức một biến. C. $$ - Đây là một biểu thức đại số chứa biến $$ ở dạng phân số. Vì có $$ ở mẫu, nên đây không phải là đa thức một biến. D. $$ - Đây là một biểu thức đại số chứa hai biến $$ và $$. Vì có hai biến, nên đây không phải là đa thức một biến. Kết luận: Biểu thức $$ là đa thức một biến. Câu 3. Ta xét biểu thức $$ với $$ là số nguyên. - Bước 1: Xét tính chất của các số liên tiếp. - Trong ba số liên tiếp, luôn luôn có một số chẵn và hai số lẻ hoặc ngược lại. - Do đó, tích của ba số liên tiếp luôn luôn là số chẵn vì tích của một số chẵn với bất kỳ số nguyên nào cũng là số chẵn. - Bước 2: Kiểm tra từng trường hợp: - Tích của ba số nguyên: Đúng, nhưng không đủ để xác định cụ thể. - Tích của ba số nguyên liên tiếp: Đúng, vì $$ là ba số liên tiếp. - Tích của ba số chẵn: Sai, vì trong ba số liên tiếp không phải lúc nào cũng có ba số chẵn. - Tích của ba số lẻ: Sai, vì trong ba số liên tiếp không phải lúc nào cũng có ba số lẻ. Vậy, biểu thức $$ là tích của ba số nguyên liên tiếp. Đáp án: B. Tích của ba số nguyên liên tiếp. Câu 4. Ta xét từng đáp án để tìm biểu thức đại số biểu thị tích của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp. A. $$ - Đây là bình phương của một số tự nhiên, không phải là tích của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp. B. $$ - Đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, nhưng không phải là hai số chẵn liên tiếp. C. $$ - Đây là tích của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp. Vì nếu $$ là số chẵn thì $$ cũng là số chẵn và chúng là hai số liên tiếp. D. $$ - Đây là tích của hai số tự nhiên cách nhau 3 đơn vị, không phải là hai số chẵn liên tiếp. Vậy biểu thức đại số biểu thị tích của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp là $$. Đáp án đúng là: C. $$ Câu 5. a) Bậc của đa thức là: Đa thức đã cho là: Ta thấy các hạng tử của đa thức này lần lượt là: , , và 1. - Hạng tử có bậc là 3 (vì có 3 chữ số ). - Hạng tử có bậc là 2 (vì có 2 chữ số ). - Hạng tử 1 có bậc là 0 (vì không có biến ). Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức. Trong đa thức này, hạng tử có bậc cao nhất là với bậc là 3. Vậy bậc của đa thức là 3. Đáp án đúng là: D. 3 b) Hệ số cao nhất của đa thức là: Hệ số cao nhất của đa thức là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất. Trong đa thức này, hạng tử có bậc cao nhất là và hệ số của nó là 1. Vậy hệ số cao nhất của đa thức là 1. Đáp án đúng là: B. 1 Câu 6. Để sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến, chúng ta cần xác định bậc của mỗi hạng tử và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bậc cao nhất đến bậc thấp nhất. Giả sử đa thức cần sắp xếp là: $$ Bước 1: Xác định bậc của mỗi hạng tử: - Hạng tử $$ có bậc là 2. - Hạng tử $$ có bậc là 3. - Hạng tử $$ có bậc là 1. - Hạng tử $$ có bậc là 0 (vì đây là hằng số). Bước 2: Sắp xếp các hạng tử theo thứ tự từ bậc cao nhất đến bậc thấp nhất: - Hạng tử có bậc cao nhất là $$ (bậc 3). - Tiếp theo là $$ (bậc 2). - Sau đó là $$ (bậc 1). - Cuối cùng là $$ (bậc 0). Do đó, đa thức được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến là: $$ Vậy đáp án đúng là: A. $$ Câu 7. Để sắp xếp đa thức theo lũy thừa tăng dần của biến, chúng ta cần sắp xếp các hạng tử sao cho các lũy thừa của biến từ bé đến lớn. Giả sử đa thức cần sắp xếp là: $$ Bước 1: Xác định các hạng tử và lũy thừa của biến trong mỗi hạng tử: - Hạng tử $$ có lũy thừa của biến là 3. - Hạng tử $$ có lũy thừa của biến là 1. - Hạng tử $$ có lũy thừa của biến là 0 (vì đây là hằng số). - Hạng tử $$ có lũy thừa của biến là 2. Bước 2: Sắp xếp các hạng tử theo thứ tự lũy thừa tăng dần của biến: - Hạng tử có lũy thừa 0: $$ - Hạng tử có lũy thừa 1: $$ - Hạng tử có lũy thừa 2: $$ - Hạng tử có lũy thừa 3: $$ Do đó, đa thức theo lũy thừa tăng dần của biến sẽ là: $$ Đáp án: $$ Câu 8. Để tính giá trị của đa thức $$ tại $$, chúng ta sẽ thay $$ vào biểu thức của $$. Giả sử đa thức $$ có dạng: $$ Bây giờ, chúng ta sẽ thay $$ vào biểu thức trên: $$ Tính từng phần: $$ $$ $$ Vậy: $$ Cộng trừ các số lại: $$ $$ $$ Vậy giá trị của $$ tại $$ là 5. Do đó, đáp án đúng là: D. 5 Đáp số: D. 5 Câu 9. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần biết đa thức cụ thể là gì. Tuy nhiên, dựa trên yêu cầu của bạn, tôi sẽ giả sử rằng đa thức đã cho là $$. Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức $$. Để tìm nghiệm của đa thức, chúng ta cần giải phương trình $$. Bước 2: Phân tích đa thức thành nhân tử. $$. Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình $$. Nghiệm của phương trình này là $$ và $$. Vậy nghiệm của đa thức $$ là $$ và $$. Đáp án: Nghiệm của đa thức là $$ và $$. Câu 10. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rằng đa thức bậc hai có dạng tổng quát là $$, trong đó $$. Đa thức bậc hai có hai nghiệm nếu và chỉ nếu phương trình $$ có hai nghiệm thực. Điều này xảy ra khi và chỉ khi biệt thức $$. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xem liệu chúng có thỏa mãn điều kiện trên hay không. A. $$ - Đây là đa thức bậc hai với $$, $$, và $$. - Biệt thức $$. - Vì $$, đa thức này có nghiệm kép chứ không phải hai nghiệm khác nhau. B. $$ - Đây là đa thức bậc hai với $$, $$, và $$. - Biệt thức $$. - Vì $$, đa thức này có nghiệm kép chứ không phải hai nghiệm khác nhau. C. $$ - Đây là đa thức bậc hai với $$, $$, và $$. - Biệt thức $$. - Vì $$, đa thức này có nghiệm kép chứ không phải hai nghiệm khác nhau. D. $$ - Đây là đa thức bậc hai với $$, $$, và $$. - Biệt thức $$. - Vì $$, đa thức này có hai nghiệm thực khác nhau. Do đó, đa thức có hai nghiệm là $$. Đáp án đúng là: D. $$. Câu 11. Để xác định đa thức nào trong các đa thức sau không có nghiệm, chúng ta cần kiểm tra từng đa thức để xem liệu có giá trị nào của biến làm cho đa thức đó bằng 0 hay không. Giả sử chúng ta có các đa thức: A. $$ B. $$ C. $$ D. $$ Ta sẽ kiểm tra từng đa thức: 1. Đa thức $$: - Ta thấy rằng $$ với mọi giá trị của $$. - Do đó, $$ với mọi giá trị của $$. - Vậy $$ không thể bằng 0 với bất kỳ giá trị nào của $$. Do đó, đa thức này không có nghiệm. 2. Đa thức $$: - Ta thấy rằng $$ khi $$. - Điều này xảy ra khi $$ hoặc $$. - Vậy đa thức này có nghiệm là $$ và $$. 3. Đa thức $$: - Ta thấy rằng $$. - Điều này bằng 0 khi $$, tức là $$. - Vậy đa thức này có nghiệm là $$. 4. Đa thức $$: - Ta thấy rằng $$. - Điều này bằng 0 khi $$, tức là $$. - Vậy đa thức này có nghiệm là $$. Từ các phân tích trên, đa thức không có nghiệm là đa thức $$. Đáp án: A. $$ Câu 12. Để tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức, chúng ta cần làm theo các bước sau: 1. Xác định bậc của đa thức: - Bậc của đa thức là số mũ lớn nhất của biến trong các hạng tử của đa thức. 2. Xác định hệ số cao nhất: - Hệ số cao nhất là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất. 3. Xác định hệ số tự do: - Hệ số tự do là hệ số của hạng tử không chứa biến, tức là hạng tử độc lập. Giả sử đa thức đã cho là $$. - Bậc của đa thức: - Hạng tử có bậc cao nhất là $$, có bậc là 5. - Vậy bậc của đa thức là 5. - Hệ số cao nhất: - Hệ số của hạng tử $$ là 3. - Vậy hệ số cao nhất là 3. - Hệ số tự do: - Hạng tử độc lập (không chứa biến) là 3. - Vậy hệ số tự do là 3. Do đó, đáp án đúng là: B. Đa thức bậc 5 , hệ số cao nhất là 3 , hệ số tự do là 3 . Câu 13. Để đa thức $$ chia hết cho đa thức $$, ta cần tìm giá trị của $$ sao cho khi thay $$ vào đa thức $$, kết quả bằng 0. Thay $$ vào đa thức $$: $$ Tính toán: $$ $$ Giải phương trình này: $$ $$ $$ Như vậy, để đa thức $$ chia hết cho đa thức $$, giá trị của $$ phải là 8. Đáp án: D. 15 (sai, đúng là 8). Câu 14. Giá của 10 quyển vở là: 10 × đồng. Giá của 2 chiếc bút bi là: 2 × đồng. Tổng số tiền Nam phải trả là: 10 × đồng + 2 × đồng. Biểu thức biểu thị số tiền Nam phải trả là: $$ (đồng). Vậy đáp án đúng là C. $$ (đồng). Câu 15. Để lập biểu thức tính chu vi của hình chữ nhật, ta cần biết công thức tính chu vi của hình chữ nhật. Công thức này là: $$ Trong đó: - $$ là chiều dài của hình chữ nhật. - $$ là chiều rộng của hình chữ nhật. Giả sử chiều dài của hình chữ nhật là $$ và chiều rộng của hình chữ nhật là $$. Áp dụng công thức trên, ta có biểu thức tính chu vi của hình chữ nhật là: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 16. Để viết biểu thức đại số tính chiều cao của một tam giác có diện tích là $$ và cạnh đáy tương ứng là $$, ta làm như sau: 1. Công thức tính diện tích của một tam giác là: $$ Trong đó: - $$ là diện tích tam giác, - $$ là độ dài cạnh đáy, - $$ là chiều cao tương ứng với cạnh đáy $$. 2. Ta cần tìm chiều cao $$. Để làm điều này, ta sẽ biến đổi công thức trên để giải ra $$: $$ 3. Nhân cả hai vế của phương trình với 2 để loại bỏ phân số: $$ 4. Chia cả hai vế của phương trình cho $$ để giải ra $$: $$ Vậy biểu thức đại số tính chiều cao của tam giác là: $$ Đáp án đúng là: D. $$ Câu 17. Để xác định biến cố không thể xảy ra, chúng ta cần kiểm tra từng trường hợp: A. "Rút được 3 bút xanh": - Hộp có 3 bút xanh, nên việc rút được 3 bút xanh là có thể xảy ra. B. "Rút được 2 bút xanh và 1 bút đỏ": - Hộp có 3 bút xanh và 2 bút đỏ, nên việc rút được 2 bút xanh và 1 bút đỏ là có thể xảy ra. C. "Rút được 3 bút đỏ": - Hộp chỉ có 2 bút đỏ, nên việc rút được 3 bút đỏ là không thể xảy ra. D. "Rút được 1 bút đỏ và 1 bút đen và 1 bút xanh": - Hộp có 2 bút đỏ, 1 bút đen và 3 bút xanh, nên việc rút được 1 bút đỏ, 1 bút đen và 1 bút xanh là có thể xảy ra. Vậy biến cố không thể xảy ra là: C. "Rút được 3 bút đỏ". Câu 18. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần xem xét từng biến cố và xác định xem biến cố nào chắc chắn xảy ra. A. "Bạn nam làm lớp trưởng và bạn nữ làm lớp phó": - Đây là một khả năng có thể xảy ra, nhưng không phải là chắc chắn vì còn có khả năng khác là bạn nữ làm lớp trưởng và bạn nam làm lớp phó. B. "Bạn nam làm lớp phó và bạn nữ làm lớp trưởng": - Cũng là một khả năng có thể xảy ra, nhưng không phải là chắc chắn vì còn có khả năng khác là bạn nam làm lớp trưởng và bạn nữ làm lớp phó. C. "Bạn nam hoặc bạn nữ sẽ làm lớp trưởng": - Đây là một biến cố chắc chắn vì trong bất kỳ trường hợp nào, lớp trưởng sẽ là một trong hai bạn nam hoặc bạn nữ. D. "Không có bạn nam nào làm lớp trưởng cả": - Đây là một khả năng có thể xảy ra, nhưng không phải là chắc chắn vì còn có khả năng bạn nam làm lớp trưởng. Vậy, biến cố chắc chắn xảy ra là: C. "Bạn nam hoặc bạn nữ sẽ làm lớp trưởng". Câu 19. Để tính xác suất của biến cố "Chọn được một học sinh nữ", chúng ta cần biết tổng số học sinh trong tổ và số học sinh nữ. Tổng số học sinh trong tổ là: $$ Số học sinh nữ là: $$ Xác suất của biến cố "Chọn được một học sinh nữ" được tính bằng cách chia số học sinh nữ cho tổng số học sinh trong tổ: $$ Vậy xác suất của biến cố là: $$ Đáp án đúng là: C. $$ Câu 20. Khi gieo ngẫu nhiên xúc xắc một lần, có 6 kết quả có thể xảy ra: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là bội của 3" bao gồm các kết quả sau: 3 và 6. Vậy có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố này. Xác suất của biến cố này là: $$ Đáp án đúng là: C. $$ Bài 1. a) Thu gọn và tìm bậc của đơn thức Để thu gọn đơn thức, ta thực hiện phép nhân giữa các hệ số và các biến theo quy tắc của đại số. $$ $$ $$ Bậc của đơn thức là tổng các số mũ của các biến trong đơn thức: $$ Vậy đơn thức đã thu gọn là $$ và bậc của đơn thức là 10. b) Tính giá trị của đơn thức tại $$ và $$ Thay $$ và $$ vào đơn thức $$: $$ $$ $$ Vậy giá trị của đơn thức tại $$ và $$ là 1. Bài 2. a) Thu gọn đa thức: $$ Gộp các hạng tử đồng dạng: $$ $$ b) Xác định các hệ số của đa thức thu gọn: - Hệ số của $$ là $$. - Hệ số của $$ là $$. - Hệ số tự do là $$. c) Tính giá trị của $$ tại $$: $$ $$ $$ Đáp số: a) Đa thức thu gọn: $$ b) Các hệ số: - Hệ số của $$ là $$. - Hệ số của $$ là $$. - Hệ số tự do là $$. c) Giá trị của $$ tại $$ là $$. Bài 3. a) Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến: - Đa thức $$ - Đa thức $$ b) Tính $$ và $$: - $$ $$ $$ - $$ $$ $$ c) Chứng tỏ rằng $$ là nghiệm của đa thức $$ nhưng không là nghiệm của $$: - Thay $$ vào $$: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Vậy $$ là nghiệm của đa thức $$. - Thay $$ vào $$: $$ $$ $$ $$ $$ Vậy $$ không là nghiệm của đa thức $$. Đáp số: a) $$ $$ b) $$ $$ c) $$ là nghiệm của đa thức $$ nhưng không là nghiệm của đa thức $$. Bài 4. Để tính các phép toán liên quan đến ba đa thức, chúng ta cần biết cụ thể các đa thức đó là gì. Tuy nhiên, giả sử ba đa thức là $$, $$, và $$. Chúng ta sẽ thực hiện các phép toán theo yêu cầu. a) Tính $$ Giả sử: $$ $$ Ta thực hiện phép cộng như sau: $$ Gộp các hạng tử đồng dạng: $$ $$ b) Tính $$ Giả sử: $$ Ta thực hiện phép trừ như sau: $$ Phân phối dấu trừ vào các hạng tử của $$: $$ Gộp các hạng tử đồng dạng: $$ $$ Kết luận a) $$ b) $$ Bài 5. a) Ta có: $$ Do đó: $$ b) Ta có: $$ Do đó: $$ c) Ta có: $$ Do đó: $$ Bài 6. Để tìm nghiệm của các đa thức, ta cần tìm các giá trị của biến làm cho đa thức đó bằng 0. Dưới đây là các ví dụ cụ thể cho từng trường hợp: a) $$ Ta có: $$ $$ $$ Vậy nghiệm của đa thức $$ là $$ và $$. b) $$ Ta có: $$ $$ $$ $$ Vậy nghiệm của đa thức $$ là $$ và $$. c) $$ Ta có: $$ $$ $$ $$ Vậy nghiệm của đa thức $$ là $$. d) $$ Ta có: $$ $$ $$ Vậy nghiệm của đa thức $$ là $$ và $$. e) $$ Ta có: $$ $$ $$ $$ Vậy nghiệm của đa thức $$ là $$. f) $$ Ta có: $$ $$ $$ $$ Vậy nghiệm của đa thức $$ là $$. g) $$ Ta có: $$ $$ $$ Vậy nghiệm của đa thức $$ là $$ và $$. h) $$ Ta có: $$ $$ $$ $$ Vậy nghiệm của đa thức $$ là $$. i) $$ Ta có: $$ $$ $$ Vậy nghiệm của đa thức $$ là $$ và $$. Như vậy, ta đã tìm được nghiệm của các đa thức theo yêu cầu đề bài. Bài 7. Để thực hiện các phép nhân với phân số, ta sẽ áp dụng quy tắc nhân phân số: Nhân tử số với tử số và mẫu số với mẫu số. a) $$ - Tử số: $$ - Mẫu số: $$ - Kết quả: $$ b) $$ - Tử số: $$ - Mẫu số: $$ - Kết quả: $$ (có thể rút gọn thành $$) c) $$ - Tử số: $$ - Mẫu số: $$ - Kết quả: $$ d) $$ - Tử số: $$ - Mẫu số: $$ - Kết quả: $$ (có thể rút gọn thành $$) e) $$ - Tử số: $$ - Mẫu số: $$ - Kết quả: $$ (có thể rút gọn thành $$) f) $$ - Tử số: $$ - Mẫu số: $$ - Kết quả: $$ (có thể rút gọn thành $$) g) $$ - Tử số: $$ - Mẫu số: $$ - Kết quả: $$ (có thể rút gọn thành $$) h) $$ - Tử số: $$ - Mẫu số: $$ - Kết quả: $$ i) $$ - Tử số: $$ - Mẫu số: $$ - Kết quả: $$ (có thể rút gọn thành $$) k) $$ - Tử số: $$ - Mẫu số: $$ - Kết quả: $$ (có thể rút gọn thành $$) Như vậy, kết quả của các phép nhân trên là: a) $$ b) $$ c) $$ d) $$ e) $$ f) $$ g) $$ h) $$ i) $$ k) $$ Bài 8. Câu hỏi: Tìm $$, biết: a) $$ b) $$ c) $$ d) $$ e) $$ f) $$ Câu trả lời: a) $$ Để tìm $$, ta lấy 12 trừ đi 5: $$ $$ b) $$ Để tìm $$, ta lấy 7 cộng thêm 3: $$ $$ c) $$ Để tìm $$, ta chia 10 cho 2: $$ $$ d) $$ Để tìm $$, ta nhân 4 với 3: $$ $$ e) $$ Để tìm $$, ta lấy căn bậc hai của 16: $$ $$ hoặc $$ f) $$ Để tìm $$, ta nhận thấy rằng giá trị tuyệt đối của $$ là 5, do đó $$ có thể là 5 hoặc -5: $$ hoặc $$ Đáp số: a) $$ b) $$ c) $$ d) $$ e) $$ hoặc $$ f) $$ hoặc $$ Bài 9. Để thực hiện các phép chia đa thức và tìm giá trị của $$ để đa thức chia hết cho đa thức khác, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp chia đa thức như sau: a) Chia $$ cho $$ 1. Phân tích: $$ 2. Chia: - Lần đầu: $$ - Nhân: $$ - Trừ: $$ - Lần thứ hai: $$ - Nhân: $$ - Trừ: $$ - Lần thứ ba: $$ - Nhân: $$ - Trừ: $$ Kết quả: $$ b) Chia $$ cho $$ 1. Phân tích: $$ không phân tích được dễ dàng hơn. 2. Chia: - Lần đầu: $$ - Nhân: $$ - Trừ: $$ - Lần thứ hai: $$ - Nhân: $$ - Trừ: $$ - Lần thứ ba: $$ - Nhân: $$ - Trừ: $$ Kết quả: $$ c) Tìm $$ để đa thức $$ chia hết cho đa thức $$ 1. Chia: - Lần đầu: $$ - Nhân: $$ - Trừ: $$ - Lần thứ hai: $$ - Nhân: $$ - Trừ: $$ - Lần thứ ba: $$ - Nhân: $$ - Trừ: $$ Để chia hết, $$ d) Tìm $$ để đa thức $$ chia hết cho đa thức $$ 1. Chia: - Lần đầu: $$ - Nhân: $$ - Trừ: $$ - Lần thứ hai: $$ - Nhân: $$ - Trừ: $$ - Lần thứ ba: $$ - Nhân: $$ - Trừ: $$ Để chia hết, $$ Kết luận: - $$ để đa thức $$ chia hết cho $$ - $$ để đa thức $$ chia hết cho $$ Bài 10. a) Chu vi của hình thang cân là tổng của các cạnh. Vì hai đáy bằng nhau và hai cạnh bên cũng bằng nhau, nên chu vi của hình thang cân là: $$ b) Ta có chu vi của tam giác là tổng ba cạnh. Gọi cạnh chưa biết là $$. Ta có: $$ Từ đó ta tìm được $$: $$ c) Diện tích của hình vuông là $$. Diện tích của hình chữ nhật là $$. Diện tích của phần được tô màu là: $$ d) Diện tích của hình chữ nhật lớn là $$. Diện tích của hình chữ nhật nhỏ là $$. Diện tích của phần được tô màu là: $$ e) Diện tích của hình chữ nhật là tích của chiều dài và chiều rộng. Gọi chiều dài là $$. Ta có: $$ Từ đó ta tìm được $$: $$ f) Thể tích của hình hộp chữ nhật là tích của chiều dài, chiều rộng và chiều cao. Gọi chiều rộng là $$. Ta có: $$ Từ đó ta tìm được $$: $$ Câu 1. Trong tam giác vuông, nếu một góc là góc vuông thì tổng hai góc còn lại bằng 90 độ. Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp để tìm câu sai. A. Nếu $$ thì $$. Điều này đúng vì tổng ba góc trong tam giác là 180 độ, và góc vuông chiếm 90 độ. B. Nếu $$ thì $$. Điều này cũng đúng vì tổng ba góc trong tam giác là 180 độ, và góc vuông chiếm 90 độ. C. Nếu $$ thì $$. Điều này cũng đúng vì tổng ba góc trong tam giác là 180 độ, và góc vuông chiếm 90 độ. D. Nếu $$ thì $$. Điều này đúng vì tổng ba góc trong tam giác là 180 độ, và góc vuông chiếm 90 độ. Như vậy, tất cả các trường hợp đều đúng. Do đó, không có câu nào sai trong các lựa chọn đã cho. Đáp án: Không có câu sai. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ yêu cầu của đề bài và áp dụng các kiến thức phù hợp với trình độ lớp 7. Bước 1: Xác định yêu cầu của đề bài - Đề bài yêu cầu em chọn câu trả lời đúng nhất trong các lựa chọn A, B, C, D. Bước 2: Phân tích các lựa chọn - Chúng ta cần kiểm tra từng lựa chọn để xác định câu trả lời đúng nhất. Bước 3: Lập luận từng bước - Vì đề bài không cung cấp cụ thể các lựa chọn A, B, C, D, chúng ta sẽ giả định rằng các lựa chọn này đã được cung cấp đầy đủ và chính xác. Bước 4: Kết luận - Sau khi kiểm tra kỹ lưỡng từng lựa chọn, chúng ta sẽ chọn câu trả lời đúng nhất. Vì đề bài không cung cấp cụ thể các lựa chọn, chúng ta không thể đưa ra câu trả lời cụ thể. Tuy nhiên, nếu các lựa chọn được cung cấp đầy đủ và chính xác, chúng ta sẽ chọn câu trả lời đúng nhất dựa trên phân tích và lập luận từng bước. Đáp án: (Chọn câu trả lời đúng nhất dựa trên các lựa chọn được cung cấp) Câu 3. Để xác định bộ ba độ dài đoạn thẳng nào không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta áp dụng điều kiện tam giác: tổng độ dài hai cạnh bất kỳ phải lớn hơn độ dài cạnh còn lại. A. 3 cm, 4 cm, 5 cm: - 3 + 4 = 7 > 5 - 3 + 5 = 8 > 4 - 4 + 5 = 9 > 3 B. 2 cm, 2 cm, 4 cm: - 2 + 2 = 4 = 4 (không thỏa mãn) - 2 + 4 = 6 > 2 - 2 + 4 = 6 > 2 C. 5 cm, 5 cm, 5 cm: - 5 + 5 = 10 > 5 - 5 + 5 = 10 > 5 - 5 + 5 = 10 > 5 D. 6 cm, 8 cm, 10 cm: - 6 + 8 = 14 > 10 - 6 + 10 = 16 > 8 - 8 + 10 = 18 > 6 Như vậy, bộ ba độ dài đoạn thẳng 2 cm, 2 cm, 4 cm không thỏa mãn điều kiện tam giác vì 2 + 2 = 4. Đáp án: B. 2 cm, 2 cm, 4 cm Câu 4. Câu hỏi: Cho $$ và $$, chọn câu trả lời đúng trong các câu sau: A. $$ B. $$ C. $$ D. $$ Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ tính từng phép toán một cách chi tiết. 1. Tính $$: $$ Quy đồng mẫu số: $$ Do đó: $$ 2. Tính $$: $$ Quy đồng mẫu số: $$ Do đó: $$ 3. Tính $$: $$ 4. Tính $$: $$ Từ các phép tính trên, chúng ta thấy rằng tất cả các đáp án đều đúng. Tuy nhiên, theo yêu cầu của câu hỏi, chúng ta cần chọn câu trả lời đúng trong các lựa chọn đã cho. Vậy, câu trả lời đúng là: A. $$ B. $$ C. $$ D. $$ Đáp án: A, B, C, D Câu 5. Để xác định tam giác cân có đỉnh cân là đỉnh nào, chúng ta cần biết các cạnh của tam giác. Giả sử tam giác ABC có AB = AC, thì tam giác ABC là tam giác cân tại đỉnh A. Nếu BC = AB hoặc BC = AC, thì tam giác ABC là tam giác cân tại đỉnh B hoặc đỉnh C tương ứng. Do đó, để xác định đỉnh cân của tam giác cân, chúng ta cần biết độ dài của các cạnh của tam giác. Vì đề bài không cung cấp thông tin về độ dài các cạnh, nên chúng ta không thể xác định đỉnh cân cụ thể là đỉnh nào. Vậy đáp án đúng là: D. đỉnh A hoặc đỉnh C. Câu 6. Đáp án đúng là: D Lập luận từng bước: - Đường phân giác trong của một tam giác là đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác và chia đôi góc ở đỉnh đó thành hai góc bằng nhau. - Điểm giao của ba đường phân giác trong của tam giác được gọi là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. - Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là điểm cách đều ba cạnh của tam giác. Do đó, điểm giao của ba đường phân giác trong của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác. Đáp án: D. cách đều ba cạnh tam giác. Câu 7. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về các loại đường liên quan đến tam giác, đặc biệt là đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao và đường trung trực. - Đường phân giác của một góc là đường thẳng chia đôi góc đó thành hai góc bằng nhau. - Đường trung tuyến là đường thẳng nối đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. - Đường cao là đường thẳng hạ từ đỉnh của tam giác vuông góc xuống cạnh đối diện. - Đường trung trực là đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng và đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó. Trong câu hỏi, chúng ta có hai đường phân giác cắt nhau tại I. Điều này cho thấy I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác, tức là điểm giao của ba đường phân giác của tam giác. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án: A. là đường trung tuyến vẽ từ: Sai, vì đường trung tuyến nối đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện, còn đường phân giác chỉ chia đôi góc. B. là đường cao kẻ từ: Sai, vì đường cao hạ từ đỉnh vuông góc xuống cạnh đối diện, còn đường phân giác chỉ chia đôi góc. C. AI là đường trung trực cạnh: Sai, vì đường trung trực là đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng và đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó, còn đường phân giác chỉ chia đôi góc. D. AI là đường phân giác góc: Đúng, vì AI là đường phân giác của góc A. Vậy đáp án đúng là D. AI là đường phân giác góc. Câu 8. Đáp án đúng là: A Cách giải thích: - Điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác là điểm nằm trên ba đường trung trực của tam giác. Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó và đi qua trung điểm của nó. - Điểm giao của ba đường trung trực này là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, tức là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác. Do đó, đáp án đúng là A. ba đường trung trực. Câu 9. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác. 1. Xác định góc ở đỉnh $$ và $$: - Gọi $$ và $$. 2. Tính góc ở đỉnh $$: - Tổng các góc trong một tam giác bằng $$, do đó: $$ 3. Xác định các góc tạo bởi đường phân giác: - Đường phân giác của $$ chia đôi góc này thành hai góc bằng nhau, tức là mỗi góc là $$. - Đường phân giác của $$ chia đôi góc này thành hai góc bằng nhau, tức là mỗi góc là $$. 4. Tính góc ở đỉnh $$: - Góc $$ được tạo bởi hai đường phân giác, do đó: $$ - Góc giữa hai đường phân giác là tổng của hai góc chia đôi từ $$ và $$: $$ - Vậy: $$ 5. Tổng kết: - Ta đã xác định được $$. Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 10. Trước tiên, chúng ta cần hiểu rõ về các tính chất của trung tuyến và trọng tâm trong tam giác. - Trung tuyến của một tam giác là đường thẳng nối đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. - Trọng tâm của một tam giác là điểm giao của ba trung tuyến. Trọng tâm chia mỗi trung tuyến thành hai đoạn tỉ lệ 2:1, tức là đoạn gần đỉnh gấp đôi đoạn gần cạnh. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng kết quả để xác định kết quả nào là sai. A. Trọng tâm chia mỗi trung tuyến thành hai đoạn tỉ lệ 2:1. - Đây là đúng theo định nghĩa của trọng tâm. B. Trọng tâm nằm trên mỗi trung tuyến. - Đây cũng là đúng vì trọng tâm là điểm giao của ba trung tuyến. C. Trọng tâm chia mỗi trung tuyến thành hai đoạn bằng nhau. - Đây là sai vì trọng tâm chia mỗi trung tuyến thành hai đoạn tỉ lệ 2:1, không phải bằng nhau. D. Trọng tâm nằm trong tam giác. - Đây là đúng vì trọng tâm luôn nằm trong tam giác. Vậy kết quả sai là: C. Trọng tâm chia mỗi trung tuyến thành hai đoạn bằng nhau. Đáp án: C. Câu 11. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về các tính chất của đường trung tuyến trong tam giác. Giả sử chúng ta có tam giác ABC và đường trung tuyến AM, trong đó M là trung điểm của cạnh BC. 1. Đường trung tuyến: - Đường trung tuyến của một tam giác là đường thẳng nối đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. - Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC. 2. Đường trung trực: - Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó và đi qua trung điểm của nó. - Đường trung tuyến AM không phải là đường trung trực của BC trừ khi tam giác ABC là tam giác cân tại A (vì chỉ trong trường hợp đó, AM mới vuông góc với BC). 3. Đường phân giác: - Đường phân giác của một góc là đường thẳng chia đôi góc đó thành hai góc bằng nhau. - Đường trung tuyến AM không phải là đường phân giác của góc BAC trừ khi tam giác ABC là tam giác cân tại A (vì chỉ trong trường hợp đó, AM mới chia đôi góc BAC). Từ những phân tích trên, chúng ta thấy rằng: - Đường trung tuyến AM không phải là đường trung trực của BC trừ khi tam giác ABC là tam giác cân tại A. - Đường trung tuyến AM không phải là đường phân giác của góc BAC trừ khi tam giác ABC là tam giác cân tại A. Do đó, chỉ có đáp án A là đúng, tức là đường trung tuyến AM chỉ là đường trung tuyến của tam giác ABC. Đáp án: A. Bài 1. a) Ta có $$ (đối đỉnh) $$ (vì $$ và $$ là đường cao) Do đó $$ (góc - góc - góc) b) Ta có $$ (góc ngoài của tam giác $$ bằng góc trong ở đỉnh đối diện của tam giác $$) $$ (vì $$ và $$ là đường cao) Do đó $$ (góc - góc - góc) c) Ta có $$ (góc ngoài của tam giác $$ bằng góc trong ở đỉnh đối diện của tam giác $$) $$ (vì $$ và $$ là đường cao) Do đó $$ (góc - góc - góc) d) Ta có $$ (góc ngoài của tam giác $$ bằng góc trong ở đỉnh đối diện của tam giác $$) $$ (vì $$ và $$ là đường cao) Do đó $$ (góc - góc - góc) Bài 2. a) Ta có M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AD. Do đó, ta có: - $$ và $$ - Vì $$ là đường trung bình của tam giác $$, nên $$ và $$ b) Ta có $$ và $$ lần lượt là trung điểm của cạnh $$ và $$. Do đó, ta có: - $$ và $$ - Vì $$ là đường trung bình của tam giác $$, nên $$ và $$ Từ đó, ta có $$ và $$. Do đó, tứ giác $$ là hình bình hành. c) Vì $$ là giao điểm của $$ và $$, ta có: - $$ và $$ (vì $$ là hình bình hành) - Do đó, tam giác $$ và tam giác $$ là tam giác cân tại $$ d) Ta có $$ và $$. Do đó, $$. Vì $$, nên tứ giác $$ là hình bình hành. e) Vì $$ là hình bình hành, nên $$ và $$. Do đó, tam giác $$ và tam giác $$ là tam giác cân tại $$. f) Ta có $$ và $$. Do đó, $$. Vì $$, nên tứ giác $$ là hình bình hành. g) Vì $$ là hình bình hành, nên $$ và $$. Do đó, tam giác $$ và tam giác $$ là tam giác cân tại $$. Đáp số: $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$ và $$ là tam giác cân tại $$. Bài 3. a) Ta có $$ nên $$. Mà $$ nên $$. Do đó $$. Tam giác $$ có $$, $$ nên $$. Vậy tam giác $$ là tam giác đều. b) Ta có $$ nên $$. Mà $$ nên $$. Do đó $$. Tam giác $$ có $$, $$ nên $$. Vậy tam giác $$ là tam giác đều. c) Ta có $$ nên $$. Mà $$ nên $$. Do đó $$. Tam giác $$ có $$, $$ nên $$. Vậy tam giác $$ là tam giác đều. Bài 4. a) Ta có: - Tam giác $$ là tam giác vuông cân tại $$, do đó $$ và $$. - Điểm $$ nằm trên cạnh $$ và điểm $$ nằm trên cạnh $$ sao cho $$. Do đó, tam giác $$ là tam giác cân tại $$ với $$. b) Để chứng minh $$, ta xét các tam giác $$ và $$: - $$ (vì $$ là tam giác vuông cân tại $$). - $$ (theo đề bài). - $$ (vì $$ là tam giác vuông cân tại $$). Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ nhất (cạnh - góc - cạnh), ta có: $$ Từ đó suy ra: $$ c) Để chứng minh tam giác $$ là tam giác vuông cân, ta xét các tính chất đã biết: - $$ (chứng minh ở phần b). - $$ (theo đề bài). Ta cũng có: - $$ (vì $$). Do đó, tam giác $$ có: - $$ - $$ (vì $$) Như vậy, tam giác $$ là tam giác cân tại đỉnh $$. Thêm nữa, ta có: - $$ (vì $$). Do đó, tổng các góc trong tam giác $$ là: $$ Vì tam giác $$ là tam giác cân tại đỉnh $$, nên: $$ Gọi $$, ta có: $$ $$ $$ $$ Vậy: $$ Do đó, tam giác $$ là tam giác vuông cân tại đỉnh $$. Đáp số: a) Tam giác $$ là tam giác cân tại $$. b) $$. c) Tam giác $$ là tam giác vuông cân tại đỉnh $$. Bài 5. a) Ta có $$ và $$ là đường phân giác của $$. Do đó, $$. Lại có $$, suy ra $$. Xét tam giác $$: - $$ - $$ Vậy $$. Do đó, tam giác $$ là tam giác cân tại $$, suy ra $$. b) Ta đã chứng minh $$. Xét tam giác $$ và tam giác $$: - $$ (chứng minh ở phần a) - $$ chung - $$ Vậy tam giác $$ và tam giác $$ bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). Do đó, $$. Mặt khác, $$, suy ra $$ là đường cao hạ từ đỉnh $$ của tam giác $$ và tam giác $$. Vậy $$ là đường trung trực của đoạn thẳng $$. c) Vì $$ là đường trung trực của đoạn thẳng $$, nên mọi điểm trên $$ đều cách đều hai đầu mút của $$. Đặc biệt, $$ nằm trên $$, suy ra $$. Tương tự, $$ nằm trên $$, suy ra $$. Vậy ta đã chứng minh được: a) $$ b) $$ là đường trung trực của đoạn thẳng $$ c) $$ và $$ Bài 7. a) Ta có: - $$ (vì $$ là hình thang cân) - $$ (vì $$ là trung điểm của $$) - $$ (vì $$ là hình thang cân) Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ nhất (cạnh kề hai góc bằng nhau), ta có: $$ Từ đó suy ra: $$ b) Ta có: - $$ (chứng minh ở phần a) - $$ (vì chúng là các góc đối đỉnh) - $$ (theo đề bài) Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh kề hai góc bằng nhau), ta có: $$ Từ đó suy ra: $$ Vì $$ nên $$ là tam giác cân tại $$. c) Ta có: - $$ (theo đề bài) - $$ (theo đề bài) - $$ (chứng minh ở phần a) Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ ba (cạnh kề hai cạnh bằng nhau), ta có: $$ Từ đó suy ra: $$ Vì $$ nên $$ là đường phân giác của $$. Vậy $$ đi qua trung điểm của $$. Bài 1. Để chứng minh rằng các đa thức sau không có nghiệm, ta sẽ xét từng trường hợp cụ thể. a) $$ Ta cần chứng minh rằng $$ không có nghiệm, tức là không tồn tại giá trị nào của $$ sao cho $$. Giả sử $$: $$ $$ Tuy nhiên, $$ luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị thực của $$. Do đó, $$ là vô lý, không thể xảy ra. Vậy đa thức $$ không có nghiệm. b) $$ Ta cần chứng minh rằng $$ không có nghiệm, tức là không tồn tại giá trị nào của $$ sao cho $$. Giả sử $$: $$ Ta sẽ hoàn thành bình phương: $$ $$ $$ Tương tự như trên, $$ luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị thực của $$. Do đó, $$ là vô lý, không thể xảy ra. Vậy đa thức $$ không có nghiệm. c) $$ Ta cần chứng minh rằng $$ không có nghiệm, tức là không tồn tại giá trị nào của $$ sao cho $$. Giả sử $$: $$ Ta sẽ hoàn thành bình phương: $$ $$ $$ Tương tự như trên, $$ luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị thực của $$. Do đó, $$ là vô lý, không thể xảy ra. Vậy đa thức $$ không có nghiệm. Kết luận Các đa thức $$, $$, và $$ đều không có nghiệm vì các biểu thức bình phương luôn lớn hơn hoặc bằng 0 và không thể bằng -1. Bài 2. Câu hỏi: Tìm giá trị của các đa thức sau: a) $$ biết $$ b) $$ biết $$ Câu trả lời: a) Để tìm giá trị của đa thức $$ khi $$, ta thay $$ vào biểu thức: $$ Tính từng bước: $$ $$ $$ $$ Vậy giá trị của đa thức $$ khi $$ là 7. b) Để tìm giá trị của đa thức $$ khi $$, ta thay $$ vào biểu thức: $$ Tính từng bước: $$ $$ $$ Vậy giá trị của đa thức $$ khi $$ là 10. Đáp số: a) $$ b) $$ Bài 3. a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: Từ đó suy ra: Bài 4. a) Xác định a để nghiệm của đa thức cũng là nghiệm của đa thức Để nghiệm của đa thức $$ cũng là nghiệm của đa thức $$, ta giả sử $$ là nghiệm chung của cả hai đa thức này. Điều này có nghĩa là: $$ $$ Từ hai phương trình trên, ta có: $$ Trừ $$ từ cả hai vế, ta được: $$ Trừ $$ từ cả hai vế, ta được: $$ Điều này có nghĩa là hoặc $$ hoặc $$. - Nếu $$, ta thay vào $$ và $$: $$ $$ Cả hai đa thức đều có nghiệm chung là $$. - Nếu $$, ta thay vào $$: $$ Do đó, $$ không phải là nghiệm của $$. Vậy chỉ có trường hợp $$ thỏa mãn. Vậy $$. b) Cho $$, trong đó $$ và $$ là hằng số và thỏa mãn: $$. Chứng tỏ rằng $$ với mọi $$. Ta có: $$ Ta sẽ biến đổi $$ thành dạng bình phương hoàn chỉnh: $$ $$ $$ Theo đề bài, ta có $$, tức là $$. Do đó: $$ Vì $$ với mọi $$, nên: $$ Vậy $$ với mọi $$. Đáp số: a) $$ b) $$ với mọi $$. Bài 5. a) Ta có đa thức $$ có nghiệm là 2, tức là $$. Thay $$ vào đa thức: $$ Do đó, hệ số $$, $$, và $$ phải thoả mãn phương trình $$. b) Ta có $$. Để tính $$, ta sử dụng phương pháp biến đổi biểu thức. Nhận thấy rằng: $$ $$ c) Ta có đa thức $$ có nghiệm là $$, tức là $$. Thay $$ vào đa thức: $$ Do đó, hệ số $$, $$, và $$ phải thoả mãn phương trình $$. Đáp số: a) $$ b) $$ c) $$ Bài 6. Để tính giá trị của đa thức tại $$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Thay giá trị $$ vào đa thức. Bước 2: Thực hiện các phép tính theo thứ tự ưu tiên. Giả sử đa thức cần tính là $$. Thay $$ vào đa thức: $$ Bước 3: Tính giá trị từng hạng tử: $$ $$ Bước 4: Cộng trừ các giá trị đã tính: $$ Vậy giá trị của đa thức tại $$ là 6. Đáp số: 6