Mng giải bài này hộ mình với Câu 11: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x^2-x&khi~x

Question

Mng giải bài này hộ mình với Câu 11: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x^2-x&khi~x<0\\sin x&khi~x\geq0\end{array}ight..$ C. 4. D. 2. $I=3$,Tính tích phân $\int^\pi_{-1}f(x)dx.$,$A.~\frac{13}6.$ $B.~\frac56.$ $C.~-\frac56.$,$D.~\frac{19}6.$,Câu 12: Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Accepted Answer

Câu 11:
Để tính tích phân $\int^\pi_{-1} f(x) dx$, ta chia tích phân thành hai phần dựa trên miền xác định của hàm số $f(x)$.

Ta có:
$$ \int^\pi_{-1} f(x) dx = \int^0_{-1} f(x) dx + \int^\pi_0 f(x) dx $$

Trong đó:
- Khi $x < 0$, ta có $f(x) = 2x^2 - x$
- Khi $x \geq 0$, ta có $f(x) = \sin x$

Do đó:
$$ \int^\pi_{-1} f(x) dx = \int^0_{-1} (2x^2 - x) dx + \int^\pi_0 \sin x dx $$

Bây giờ, ta tính từng tích phân riêng lẻ.

1. Tính $\int^0_{-1} (2x^2 - x) dx$:
$$ \int^0_{-1} (2x^2 - x) dx = \left[ \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]^0_{-1} $$
$$ = \left( \frac{2(0)^3}{3} - \frac{(0)^2}{2} \right) - \left( \frac{2(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} \right) $$
$$ = 0 - \left( \frac{-2}{3} - \frac{1}{2} \right) $$
$$ = 0 - \left( -\frac{2}{3} - \frac{1}{2} \right) $$
$$ = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} $$
$$ = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} $$
$$ = \frac{7}{6} $$

2. Tính $\int^\pi_0 \sin x dx$:
$$ \int^\pi_0 \sin x dx = \left[ -\cos x \right]^\pi_0 $$
$$ = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) $$
$$ = -(-1) - (-1) $$
$$ = 1 + 1 $$
$$ = 2 $$

Cuối cùng, cộng hai kết quả lại:
$$ \int^\pi_{-1} f(x) dx = \frac{7}{6} + 2 $$
$$ = \frac{7}{6} + \frac{12}{6} $$
$$ = \frac{19}{6} $$

Vậy đáp án đúng là:
D. $\frac{19}{6}$.

Câu 12:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào các thông tin từ đồ thị của hàm số $y = f(x)$ để suy ra các tính chất và đặc điểm của hàm số đó.

1. Xác định dạng chung của hàm số:
   Vì hàm số $y = f(x)$ là hàm đa thức bậc bốn, nên nó có dạng tổng quát là:
   $$
   f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
   $$
   trong đó $a$, $b$, $c$, $d$, và $e$ là các hằng số thực và $a \neq 0$.

2. Xác định các điểm cực trị:
   Từ đồ thị, ta thấy hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Điều này cho thấy rằng đạo hàm của hàm số bậc bốn ($f'(x)$) là một hàm bậc ba và có ba nghiệm thực (điểm cực trị).

3. Xác định các điểm cực đại và cực tiểu:
   - Điểm cực đại thứ nhất tại $x = -1$ với giá trị $f(-1) = 2$.
   - Điểm cực đại thứ hai tại $x = 2$ với giá trị $f(2) = 5$.
   - Điểm cực tiểu tại $x = 1$ với giá trị $f(1) = 0$.

4. Xác định các điểm giao với trục hoành:
   - Đồ thị cắt trục hoành tại $x = 1$ (điểm cực tiểu) và một điểm khác chưa biết.

5. Xác định các điểm giao với trục tung:
   - Đồ thị cắt trục tung tại $y = 2$ (tức là $f(0) = 2$).

6. Tìm các nghiệm của phương trình $f(x) = 0$:
   - Ta đã biết $f(1) = 0$, vậy $x = 1$ là một nghiệm của phương trình $f(x) = 0$.
   - Để tìm các nghiệm khác, ta cần biết thêm thông tin về các điểm giao với trục hoành khác hoặc sử dụng các phương pháp giải phương trình bậc bốn.

7. Tổng kết:
   - Hàm số $f(x)$ là hàm đa thức bậc bốn.
   - Đồ thị của hàm số có hai điểm cực đại tại $x = -1$ và $x = 2$ với giá trị tương ứng là $2$ và $5$.
   - Đồ thị có một điểm cực tiểu tại $x = 1$ với giá trị $0$.
   - Đồ thị cắt trục hoành tại $x = 1$ và một điểm khác chưa biết.
   - Đồ thị cắt trục tung tại $y = 2$.

Như vậy, thông qua việc phân tích đồ thị, ta đã xác định được các đặc điểm chính của hàm số $y = f(x)$.