gaiir cácv

Câu 1: Để xác định biểu thức nào là hàm số theo biến \( x \), chúng ta cần kiểm tra xem mỗi biểu thức có thể viết dưới dạng \( y = f(x) \) hay không, nghĩa là mỗi giá trị của \( x \) chỉ xác định duy nhất một giá trị của \( y \). A. \( y^2 = 2x + 3 \) - Biểu thức này không phải là hàm số vì mỗi giá trị của \( x \) xác định hai giá trị của \( y \) (do \( y \) có thể là \( \sqrt{2x + 3} \) hoặc \( -\sqrt{2x + 3} \)). B. \( y = 2x - 1 \) - Biểu thức này là hàm số vì mỗi giá trị của \( x \) xác định duy nhất một giá trị của \( y \). C. \( x^2 + x^2 + 1 \) - Biểu thức này không phải là hàm số vì nó không có dạng \( y = f(x) \). Nó chỉ là một biểu thức đại số phụ thuộc vào \( x \). D. \( y^2 = 2x - 1 \) - Biểu thức này không phải là hàm số vì mỗi giá trị của \( x \) xác định hai giá trị của \( y \) (do \( y \) có thể là \( \sqrt{2x - 1} \) hoặc \( -\sqrt{2x - 1} \)). Vậy, biểu thức là hàm số theo biến \( x \) là: B. \( y = 2x - 1 \) Câu 2: Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \), ta cần đảm bảo rằng mẫu số không bằng không vì chia cho số 0 là vô nghĩa. Mẫu số của hàm số này là \( x - 1 \). Ta đặt điều kiện: \[ x - 1 \neq 0 \] \[ x \neq 1 \] Vậy tập xác định của hàm số \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \) là tất cả các số thực ngoại trừ \( x = 1 \). Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ R \setminus \{1\} \] Đáp án đúng là: A. \( R \setminus \{1\} \) Câu 3: Để xác định tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số bậc hai \( y = ax^2 + bx + c \) (với \( a \neq 0 \)), ta sử dụng công thức tọa độ đỉnh của parabol. Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là: \[ \left( -\frac{b}{2a}, f\left( -\frac{b}{2a} \right) \right) \] Trong đó: - Tọa độ hoành độ đỉnh là \( -\frac{b}{2a} \) - Tọa độ tung độ đỉnh là \( f\left( -\frac{b}{2a} \right) \) Ta tính giá trị của \( f\left( -\frac{b}{2a} \right) \): \[ f\left( -\frac{b}{2a} \right) = a \left( -\frac{b}{2a} \right)^2 + b \left( -\frac{b}{2a} \right) + c \] \[ = a \left( \frac{b^2}{4a^2} \right) - \frac{b^2}{2a} + c \] \[ = \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \] \[ = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + c \] \[ = \frac{b^2 - 2b^2}{4a} + c \] \[ = \frac{-b^2}{4a} + c \] \[ = \frac{-b^2 + 4ac}{4a} \] \[ = \frac{4ac - b^2}{4a} \] Do đó, tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số bậc hai \( y = ax^2 + bx + c \) là: \[ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) \] So sánh với các đáp án đã cho: A. \( \left( -\frac{b}{2a} + \frac{A}{4a} \right) \) B. \( \left( \frac{b}{2a} + \frac{a}{4a} \right) \) C. \( \left( -\frac{b}{a} - \frac{a}{4a} \right) \) D. \( \left( -\frac{b}{2a}, -\frac{a}{4a} \right) \) Đáp án đúng là: \[ \boxed{D. \left( -\frac{b}{2a}, -\frac{a}{4a} \right)} \] Câu 4: Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số $y = f(x) = x^2$, ta sẽ dựa vào đồ thị của hàm số này. Hình vẽ cho thấy đồ thị của hàm số $y = x^2$ là một parabol mở rộng lên trên, đỉnh của parabol nằm tại điểm $(0, 0)$. - Trên khoảng $(-\infty, 0)$, đồ thị hàm số giảm dần từ trái sang phải, tức là khi $x$ tăng thì $y$ giảm. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty, 0)$. - Trên khoảng $(0, +\infty)$, đồ thị hàm số tăng dần từ trái sang phải, tức là khi $x$ tăng thì $y$ cũng tăng. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(0, +\infty)$. Từ những phân tích trên, ta thấy rằng: - Hàm số không đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$ vì nó nghịch biến trên $(-\infty, 0)$. - Hàm số không nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$ vì nó đồng biến trên $(0, +\infty)$. - Hàm số không nghịch biến trên $(0, +\infty)$ vì nó đồng biến trên khoảng này. - Hàm số nghịch biến trên $(-\infty, 0)$. Vậy khẳng định đúng là: D. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty, 0)$. Câu 5. Ta xét tam thức bậc hai $f(x) = -4x^2 + 12x - 9$. Đầu tiên, ta tìm nghiệm của phương trình $-4x^2 + 12x - 9 = 0$: \[ -4x^2 + 12x - 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho -1: \[ 4x^2 - 12x + 9 = 0 \] Phương trình này có dạng $(ax + b)^2 = 0$, cụ thể là: \[ (2x - 3)^2 = 0 \] Giải phương trình này: \[ 2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} \] Vậy phương trình có nghiệm kép $x = \frac{3}{2}$. Tiếp theo, ta xét dấu của tam thức $f(x) = -4x^2 + 12x - 9$. Vì hệ số của $x^2$ là âm (-4), nên đồ thị của tam thức này là một parabol mở xuống. Do đó, tam thức sẽ âm ở hai phía bên ngoài nghiệm kép và bằng 0 tại nghiệm kép. Từ đó, ta có: \[ -4x^2 + 12x - 9 < 0, \quad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{3}{2} \right\} \] Vậy đáp án đúng là: C. $-4x^2 + 12x - 9 < 0, \quad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{3}{2} \right\}$. Câu 6: Để xác định tam thức bậc hai nào có biểu đồ xét dấu như hình vẽ, ta cần dựa vào các đặc điểm của biểu đồ: 1. Tìm các nghiệm của tam thức: - Biểu đồ cho thấy tam thức có hai nghiệm là \( x = -1 \) và \( x = 5 \). 2. Xác định dấu của hệ số \( a \): - Biểu đồ cho thấy tam thức âm ở giữa hai nghiệm và dương ở hai bên ngoài. Điều này chỉ ra rằng hệ số \( a \) của tam thức phải là số âm. 3. Viết tam thức bậc hai: - Tam thức bậc hai có dạng \( f(x) = a(x + 1)(x - 5) \). Vì hệ số \( a \) là số âm, ta chọn \( a = -1 \) (để đơn giản hóa). Do đó, tam thức bậc hai sẽ là: \[ f(x) = -(x + 1)(x - 5) \] 4. Rаскрываем скобки и приводим подобные члены: \[ f(x) = -(x^2 - 5x + x - 5) \] \[ f(x) = -(x^2 - 4x - 5) \] \[ f(x) = -x^2 + 4x + 5 \] Như vậy, tam thức bậc hai đúng là: \[ f(x) = -x^2 + 4x + 5 \] Đáp án đúng là: C. \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) Đáp số: C. \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) Câu 7: Phương trình ban đầu là: \[ \sqrt{3x^3 - 4x + 1} = -3(x - 2) \] Bình phương hai vế của phương trình này, ta có: \[ (\sqrt{3x^3 - 4x + 1})^2 = (-3(x - 2))^2 \] Khi bình phương cả hai vế, ta sẽ có: \[ 3x^3 - 4x + 1 = 9(x - 2)^2 \] Do đó, phương án đúng là: B. \(3x^3 - 4x + 1 = 9(x - 2)^2\) Đáp án: B. \(3x^3 - 4x + 1 = 9(x - 2)^2\) Câu 8: Để giải phương trình $\sqrt{x^2-3x}=\sqrt{3x-x^2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Ta cần đảm bảo rằng các biểu thức dưới dấu căn đều không âm: \[ x^2 - 3x \geq 0 \quad \text{và} \quad 3x - x^2 \geq 0 \] - Giải bất phương trình $x^2 - 3x \geq 0$: \[ x(x - 3) \geq 0 \] Điều này đúng khi $x \leq 0$ hoặc $x \geq 3$. - Giải bất phương trình $3x - x^2 \geq 0$: \[ x(3 - x) \geq 0 \] Điều này đúng khi $0 \leq x \leq 3$. - Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \] 2. Giải phương trình: - Ta bình phương cả hai vế của phương trình để loại bỏ dấu căn: \[ (\sqrt{x^2-3x})^2 = (\sqrt{3x-x^2})^2 \] Điều này dẫn đến: \[ x^2 - 3x = 3x - x^2 \] - Gộp các hạng tử về một vế: \[ x^2 - 3x - 3x + x^2 = 0 \] \[ 2x^2 - 6x = 0 \] - Factorize: \[ 2x(x - 3) = 0 \] - Tìm nghiệm: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \] 3. Kiểm tra lại các nghiệm trong điều kiện xác định: - Ta đã xác định rằng các nghiệm $x = 0$ và $x = 3$ đều thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy tập nghiệm của phương trình là $T = \{0, 3\}$. Đáp án đúng là: C. $T = \{0, 3\}$. Câu 9: Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) được cho bởi phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t \\ y = 1 - t \end{array} \right. \] Chúng ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng này. Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là vectơ có hướng và độ dài tương ứng với các hệ số của tham số \(t\) trong phương trình tham số. Từ phương trình tham số: \[ x = 2 + 3t \] \[ y = 1 - t \] Ta thấy rằng khi \(t\) thay đổi, \(x\) thay đổi theo hệ số 3 và \(y\) thay đổi theo hệ số -1. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là: \[ \overrightarrow{u} = (3, -1) \] Bây giờ, chúng ta so sánh với các lựa chọn đã cho: A. $\overrightarrow{u_1} = (2, 3)$ B. $\overrightarrow{u_2} = (3, -1)$ C. $\overrightarrow{u_3} = (1, 3)$ D. $\overrightarrow{u_4} = (2, 1)$ Như vậy, vectơ chỉ phương đúng của đường thẳng \(d\) là: \[ \overrightarrow{u_2} = (3, -1) \] Đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{u_2} = (3, -1)$. Câu 10. Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M(0;1)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (3;2)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình tổng quát của đường thẳng: Phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (a;b)$ đi qua điểm $(x_0; y_0)$ là: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \] 2. Thay các giá trị đã biết vào phương trình: Ta có $a = 3$, $b = 2$, $x_0 = 0$, và $y_0 = 1$. Thay vào phương trình tổng quát: \[ 3(x - 0) + 2(y - 1) = 0 \] \[ 3x + 2(y - 1) = 0 \] 3. Rút gọn phương trình: \[ 3x + 2y - 2 = 0 \] Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng $(d)$ là: \[ 3x + 2y - 2 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: A. $3x + 2y - 2 = 0$