giải giúp mình với ạ

Câu 1: a) Để nam nữ đứng xen kẽ, ta có thể sắp xếp theo thứ tự N-N-N-N-N-N-N hoặc N-N-N-N-N-N. Ta sẽ tính số cách sắp xếp cho mỗi trường hợp rồi cộng lại. - Trường hợp 1: Sắp xếp theo thứ tự N-N-N-N-N-N-N - Chọn 5 nam ngồi vào 5 vị trí cố định: \(4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\) cách. - Chọn 4 nữ ngồi vào 4 vị trí còn lại: \(5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120\) cách. - Tổng số cách: \(24 \times 120 = 2880\) cách. - Trường hợp 2: Sắp xếp theo thứ tự N-N-N-N-N-N - Chọn 4 nam ngồi vào 4 vị trí cố định: \(4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\) cách. - Chọn 5 nữ ngồi vào 5 vị trí còn lại: \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\) cách. - Tổng số cách: \(24 \times 120 = 2880\) cách. Tổng số cách sắp xếp nam nữ xen kẽ: \(2880 + 2880 = 5760\) cách. b) Để chọn 5 học sinh từ tổ 7 nữ và 8 nam sao cho có cả nam và nữ, ta có thể làm như sau: - Tổng số cách chọn 5 học sinh từ 15 học sinh: \(\binom{15}{5} = 3003\) cách. - Số cách chọn 5 học sinh toàn nữ: \(\binom{7}{5} = 21\) cách. - Số cách chọn 5 học sinh toàn nam: \(\binom{8}{5} = 56\) cách. Số cách chọn 5 học sinh có cả nam và nữ: \(3003 - 21 - 56 = 2926\) cách. Đáp số: a) 5760 cách. b) 2926 cách. Câu 2: Để lập được các số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau từ tập $X=\{2;3;4;5;6\}$, ta thực hiện như sau: - Chọn chữ số hàng trăm: Có 5 cách chọn (vì có 5 số trong tập X). - Chọn chữ số hàng chục: Có 4 cách chọn (vì đã chọn 1 số cho hàng trăm, còn lại 4 số). - Chọn chữ số hàng đơn vị: Có 3 cách chọn (vì đã chọn 2 số cho hàng trăm và hàng chục, còn lại 3 số). Vậy tổng số các số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau là: \[ 5 \times 4 \times 3 = 60 \] Đáp số: 60 số tự nhiên. Câu 3: Để tìm hệ số của số hạng chứa \( x \) trong khai triển \( \left( x^2 + \frac{2}{x} \right)^6 \), ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức nhị thức Newton cho khai triển \( (a + b)^n \) là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \( a = x^2 \), \( b = \frac{2}{x} \), và \( n = 6 \). Ta cần tìm số hạng chứa \( x \). Mỗi số hạng trong khai triển có dạng: \[ \binom{6}{k} (x^2)^{6-k} \left( \frac{2}{x} \right)^k \] Ta cần tìm \( k \) sao cho tổng các lũy thừa của \( x \) trong số hạng này bằng 1 (vì ta đang tìm số hạng chứa \( x \)). Tổng các lũy thừa của \( x \) trong mỗi số hạng là: \[ 2(6 - k) - k = 1 \] Giải phương trình này: \[ 12 - 2k - k = 1 \] \[ 12 - 3k = 1 \] \[ 3k = 11 \] \[ k = \frac{11}{3} \] Vì \( k \) phải là số nguyên, nên không có giá trị \( k \) nào thỏa mãn điều kiện trên. Do đó, không có số hạng nào chứa \( x \) trong khai triển \( \left( x^2 + \frac{2}{x} \right)^6 \). Vậy hệ số của số hạng chứa \( x \) là 0. Đáp số: 0 Câu 4: Để xác định vị trí chạm vào đường bờ biển sao cho khoảng di chuyển từ điểm A đến điểm B là ngắn nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điểm đối xứng của điểm B qua đường thẳng \(\Delta\): - Đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(x - y + 1 = 0\). - Gọi điểm B' là điểm đối xứng của B qua đường thẳng \(\Delta\). 2. Tìm tọa độ của điểm B': - Gọi B' có tọa độ là \((x', y')\). - Vì B' là điểm đối xứng của B qua đường thẳng \(\Delta\), nên trung điểm của đoạn thẳng BB' nằm trên đường thẳng \(\Delta\). - Trung điểm của BB' là \(\left(\frac{9 + x'}{2}, \frac{6 + y'}{2}\right)\). - Thay vào phương trình của \(\Delta\): \[ \frac{9 + x'}{2} - \frac{6 + y'}{2} + 1 = 0 \] Nhân cả hai vế với 2: \[ 9 + x' - 6 - y' + 2 = 0 \implies x' - y' + 5 = 0 \quad \text{(1)} \] - Mặt khác, đường thẳng nối B và B' vuông góc với đường thẳng \(\Delta\). Phương trình đường thẳng \(\Delta\) có dạng \(y = x + 1\), nên đường thẳng vuông góc với nó sẽ có dạng \(y = -x + c\). - Đường thẳng đi qua B(9, 6) và vuông góc với \(\Delta\) có phương trình: \[ y - 6 = -(x - 9) \implies y = -x + 15 \quad \text{(2)} \] - Giải hệ phương trình (1) và (2): \[ \begin{cases} x' - y' + 5 = 0 \\ y' = -x' + 15 \end{cases} \] Thay \(y' = -x' + 15\) vào phương trình thứ nhất: \[ x' - (-x' + 15) + 5 = 0 \implies x' + x' - 15 + 5 = 0 \implies 2x' - 10 = 0 \implies x' = 5 \] Thay \(x' = 5\) vào \(y' = -x' + 15\): \[ y' = -5 + 15 = 10 \] Vậy tọa độ của B' là \((5, 10)\). 3. Xác định điểm M trên đường thẳng \(\Delta\) sao cho tổng khoảng cách từ A đến M và từ M đến B là ngắn nhất: - Điểm M nằm trên đường thẳng \(\Delta\), do đó tọa độ của M là \((a, a + 1)\). - Ta cần tối thiểu hóa khoảng cách \(AM + MB'\). 4. Tính khoảng cách \(AM\) và \(MB'\): - Khoảng cách \(AM\): \[ AM = \sqrt{(a - 2)^2 + ((a + 1) - 1)^2} = \sqrt{(a - 2)^2 + a^2} \] - Khoảng cách \(MB'\): \[ MB' = \sqrt{(a - 5)^2 + ((a + 1) - 10)^2} = \sqrt{(a - 5)^2 + (a - 9)^2} \] 5. Tổng khoảng cách \(AM + MB'\): - Tổng khoảng cách: \[ AM + MB' = \sqrt{(a - 2)^2 + a^2} + \sqrt{(a - 5)^2 + (a - 9)^2} \] 6. Tìm giá trị của \(a\) để tổng khoảng cách \(AM + MB'\) là nhỏ nhất: - Để tối thiểu hóa tổng khoảng cách này, ta có thể sử dụng phương pháp tính toán hoặc vẽ đồ thị. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể nhận thấy rằng điểm M nằm trên đường thẳng nối A và B'. - Phương trình đường thẳng nối A(2, 1) và B'(5, 10): \[ y - 1 = \frac{10 - 1}{5 - 2}(x - 2) \implies y - 1 = 3(x - 2) \implies y = 3x - 5 \] - Giao điểm của đường thẳng này với đường thẳng \(\Delta\) (x - y + 1 = 0): \[ x - (3x - 5) + 1 = 0 \implies x - 3x + 5 + 1 = 0 \implies -2x + 6 = 0 \implies x = 3 \] Thay \(x = 3\) vào \(y = 3x - 5\): \[ y = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4 \] Vậy tọa độ của M là \((3, 4)\). 7. Tính \(a + b\): - \(a = 3\) và \(b = 4\), nên \(a + b = 3 + 4 = 7\). Đáp số: \(a + b = 7\).