Tìm tất cả các số nguyên tố p; q sao cho 7p+q và pq+11 đều là số nguyên tố

Vì p, q là số nguyên tố mà pq + 11 cũng là số nguyên tố
$\displaystyle \Rightarrow pq$ chẵn (chẵn + lẻ = lẻ )
+ Giả sử p chẵn $\displaystyle \Rightarrow p=2$
$\displaystyle \Rightarrow 7p+q=14+q$
mà 7p + q là số nguyên tố nên q lẻ
Nếu $\displaystyle q=3\Rightarrow 7p+q=14+3=17$ là số nguyên tố
Nếu $\displaystyle q=3k+1\Rightarrow 7p+q=15+3k\vdots 3$ (loại)
Nếu $\displaystyle q=3k+2\Rightarrow pq+11=2( 3k+2) +11=6k+15\vdots 3$ (loại)
Vậy chỉ có q = 3 thoả mãn ta được cặp (p,q)=(2,3)
+ Giả sử q chẵn $\displaystyle \Rightarrow q=2$
$\displaystyle \Rightarrow 7p+q=7p+2$
$\displaystyle \Rightarrow p$ lẻ
Nếu $\displaystyle p=3\Rightarrow 7p+q=23$ là số nguyên tố
Nếu $\displaystyle p=3k+1\Rightarrow 7p+q=7( 3k+1) +2=21k+9\vdots 3$ (loại)
Nếu $\displaystyle p=3k+2\Rightarrow pq+11=2( 3k+2) +11\vdots 3$ (loại)
Vậy chỉ có p=3 thoả mãn
Vậy có 2 cặp (p,q) thoả mãn là (3,2) và (2,3)