giảii giúp em ạ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông,góc với nhau và $OA=3,OB=5,OC=6.$ Gọi H là,chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng,(ABC). Bài toán yêu cầu tính OH?.

Question

Accepted Answer

Ta có:
$\displaystyle \begin{cases}
OA\bot OB & \
OA\bot OC &
\end{cases} \Longrightarrow OA\bot BC\ ( 1)$
Do H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC) nên
$\displaystyle OH\bot ( ABC) \ \Longrightarrow \ OH\bot BC\ ( 2)$
Mà OA, OH$\displaystyle \subset $(OAH); OA$\displaystyle \cap $OH=O (3)
Từ (1), (2), (3) ⟹ BC$\displaystyle \bot $(OAH)
Gọi M=AH$\displaystyle \cap $BC
BC$\displaystyle \bot $(OAH)⟹BC$\displaystyle \bot $OM
Tam giác OBC vuông tại O có đường cao OM
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{1}{OM^{2}} =\frac{1}{OB^{2}} +\frac{1}{OC^{2}}$
OA$\displaystyle \bot $(ABC) ⟹ OA$\displaystyle \bot $OM ⟹ Tam giác OAM vuông tại O
OH$\displaystyle \bot $(ABC)⟹ OH$\displaystyle \bot $AM
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow \frac{1}{OH^{2}} =\frac{1}{OM^{2}} +\frac{1}{OA^{2}} =\frac{1}{OB^{2}} +\frac{1}{OC^{2}} +\frac{1}{OA^{2}}\
\Longrightarrow \frac{1}{OH^{2}} =\frac{1}{3^{2}} +\frac{1}{5^{2}} +\frac{1}{6^{2}}\
\Longrightarrow OH^{2} =\frac{900}{161}
\end{array}$