Giuppppppppp Câu 1: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình $-x^2-2mx-5m+4\leq0$ nghiệm đúng với mọi,$x\in\mathbb R.$,Câu 2: Giải phương trình $\sqrt{3x^2-4x+1}=2x+3.$,Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho điểm $I(2;1)$ và đường thẳng $\Delta:3x-4y+3=0.$ Viết

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để bất phương trình $-x^2 - 2mx - 5m + 4 \leq 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta cần tìm các giá trị của tham số $m$ sao cho biểu thức $-x^2 - 2mx - 5m + 4$ luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của $x$.

Ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi biểu thức thành dạng tổng bình phương và kiểm tra điều kiện để biểu thức này luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0.

Bước 1: Xét biểu thức $-x^2 - 2mx - 5m + 4$.

Bước 2: Ta viết lại biểu thức dưới dạng tổng bình phương:
$$
-x^2 - 2mx - 5m + 4 = -(x^2 + 2mx + m^2) + m^2 - 5m + 4 = -(x + m)^2 + m^2 - 5m + 4.
$$

Bước 3: Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$, ta cần:
$$
-(x + m)^2 + m^2 - 5m + 4 \leq 0.
$$
Do $(x + m)^2 \geq 0$ với mọi $x$, nên $-(x + m)^2 \leq 0$. Do đó, để bất phương trình luôn đúng, ta cần:
$$
m^2 - 5m + 4 \leq 0.
$$

Bước 4: Giải bất phương trình $m^2 - 5m + 4 \leq 0$:
$$
m^2 - 5m + 4 = (m - 1)(m - 4) \leq 0.
$$
Ta vẽ bảng xét dấu:
$$
\begin{array}{c|ccc}
m & (-\infty, 1) & 1 & (1, 4) & 4 & (4, +\infty) \
\hline
m - 1 & - & 0 & + & + & + \
m - 4 & - & - & - & 0 & + \
(m - 1)(m - 4) & + & 0 & - & 0 & + \
\end{array}
$$
Từ bảng xét dấu, ta thấy $(m - 1)(m - 4) \leq 0$ khi $1 \leq m \leq 4$.

Vậy các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $-x^2 - 2mx - 5m + 4 \leq 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ là:
$$
\boxed{1 \leq m \leq 4}.
$$

Câu 2:
Điều kiện: $3x^2 - 4x + 1 \geq 0$ và $2x + 3 \geq 0$

$\Leftrightarrow x \leq \frac{1}{3}$ hoặc $x \geq 1$ và $x \geq -\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow -\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{1}{3}$ hoặc $x \geq 1$

Bình phương hai vế ta có:

$3x^2 - 4x + 1 = 4x^2 + 12x + 9$

$\Leftrightarrow x^2 + 16x + 8 = 0$

$\Delta' = 64 - 8 = 56 > 0$

$x_{1} = -8 + 2\sqrt{14}, x_{2} = -8 - 2\sqrt{14}$

Kiểm tra điều kiện ta thấy $x = -8 - 2\sqrt{14}$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = -8 - 2\sqrt{14}$.

Câu 3:
Để viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $I(2;1)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta: 3x - 4y + 3 = 0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm hệ số góc của đường thẳng $\Delta$:
   Đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $3x - 4y + 3 = 0$. 
   Ta viết lại phương trình này dưới dạng $y = mx + n$:
   $$
   3x - 4y + 3 = 0 \implies -4y = -3x - 3 \implies y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}
   $$
   Vậy hệ số góc của đường thẳng $\Delta$ là $m_{\Delta} = \frac{3}{4}$.

2. Tìm hệ số góc của đường thẳng vuông góc với $\Delta$:
   Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích của các hệ số góc của chúng bằng -1. 
   Gọi hệ số góc của đường thẳng cần tìm là $m$. Ta có:
   $$
   m \cdot \frac{3}{4} = -1 \implies m = -\frac{4}{3}
   $$

3. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $I(2;1)$ với hệ số góc $m = -\frac{4}{3}$:
   Phương trình đường thẳng đi qua điểm $(x_1, y_1)$ với hệ số góc $m$ là:
   $$
   y - y_1 = m(x - x_1)
   $$
   Thay $(x_1, y_1) = (2, 1)$ và $m = -\frac{4}{3}$ vào phương trình trên:
   $$
   y - 1 = -\frac{4}{3}(x - 2)
   $$
   Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ phân số:
   $$
   3(y - 1) = -4(x - 2) \implies 3y - 3 = -4x + 8 \implies 4x + 3y - 11 = 0
   $$

Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm $I(2;1)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta: 3x - 4y + 3 = 0$ là:
$$
4x + 3y - 11 = 0
$$