Cho hình chóp SABC có SA vuông góc (ABC) vuông tại B, SA=AB=BC=a a, Xác định hình chiếu cúa A trên mặt phẳng (SBC) b, Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC)

a, Xác định hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC): - Vì SA vuông góc với (ABC), nên SA cũng vuông góc với BC (vì BC nằm trong (ABC)). - Mặt khác, AB vuông góc với BC (theo đề bài). - Do đó, BC vuông góc với cả SA và AB, suy ra BC vuông góc với mặt phẳng (SAB). - Gọi H là giao điểm của BC và mặt phẳng (SAB). Khi đó, AH là đường thẳng vuông góc với BC từ A xuống (SBC). - Vậy hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC) là điểm H. b, Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC): - Gọi O là chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC). Vì SA vuông góc với (ABC), nên O nằm trên SA. - Ta có SO vuông góc với (ABC), do đó góc giữa SC và (ABC) chính là góc SCO. - Trong tam giác vuông SOB, ta có: - SB = $\sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. - SO = SA = a (vì SA vuông góc với (ABC)). - Trong tam giác vuông SOC, ta có: - OC = OB = $\frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$ (vì O là trung điểm của BC). - SC = $\sqrt{SO^2 + OC^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$. - Góc giữa SC và (ABC) là góc SCO, ta tính: - $\sin(\angle SCO) = \frac{OC}{SC} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$. - $\cos(\angle SCO) = \frac{SO}{SC} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$. - Vậy góc giữa SC và (ABC) là $\angle SCO = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ hoặc $\arccos\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$. Đáp số: a, Hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC) là điểm H. b, Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là $\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ hoặc $\arccos\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$.