Xét khối chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng 3 . Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(S B C)$ và $(A B C)$, tính $\cos \alpha$ khi thề tích khối chóp $S . A B C$ nhỏ nhất.

Question

Accepted Answer

- Gọi M là trung điểm của BC ta có: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{BC} \perp \mathrm{AM} \ \mathrm{BC} \perp \mathrm{SA}\end{array} \Rightarrow \mathrm{BC} \perp(\mathrm{SAM}) ight.$

Trong (SAM) kẻ $\mathrm{AH} \perp \mathrm{SM} \Rightarrow \mathrm{AH} \perp \mathrm{BC} \Rightarrow \mathrm{AH} \perp(\mathrm{SBC}) \Rightarrow \mathrm{AH}=3$

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
(\mathrm{SBC}) \cap(\mathrm{ABC})=\mathrm{BC} \
\mathrm{AM} \perp \mathrm{BC} \
\mathrm{SM} \perp \mathrm{BC}
\end{array} \Rightarrow((\mathrm{SBC}) ;(\mathrm{ABC}))=(\mathrm{AM} ; \mathrm{SM})=\mathrm{SMA}=\alpha ight. \
& ext { - } \Rightarrow \mathrm{AM}=\frac{\mathrm{AH}}{\sin \alpha}=\frac{3}{\sin \alpha} \Rightarrow \mathrm{BC}=2 \mathrm{AM}=\frac{6}{\sin \alpha} \
& \Rightarrow \mathrm{~S}_{\mathrm{ABC}}=\frac{1}{2} \mathrm{AM} \cdot \mathrm{BC}=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sin \alpha} \cdot \frac{6}{\sin \alpha}=\frac{9}{\sin ^2 \alpha}
\end{aligned}
$$

- Trong tam giác vuông SAM có: $\mathrm{SM}=\frac{\mathrm{AM}}{\sin \alpha}=\frac{3}{\sin \alpha \cos \alpha}$

$$
\begin{aligned}
& \Rightarrow \mathrm{SA}=\sqrt{\mathrm{SM}^2-\mathrm{AM}^2}=\sqrt{\frac{8}{\sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha}-\frac{9}{\sin ^2 \alpha}}=\frac{3 \sqrt{1-\cos ^2 \alpha}}{\sin \alpha \cos \alpha}=\frac{3}{\cos \alpha} \
& \Rightarrow \mathrm{~V}_{\mathrm{S} . \mathrm{ABC}}=\frac{1}{3} \mathrm{SA} \cdot \mathrm{~S}_{\mathrm{ABC}}=\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\cos \alpha} \cdot \frac{9}{\sin ^2 \alpha}=\frac{9}{\left(1-\cos ^2 \alpha ight) \cos \alpha}
\end{aligned}
$$

- Đặt $\mathrm{t}=\cos \alpha(0<\mathrm{t}<1) \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{t})=\frac{9}{\left(1-\mathrm{t}^2 ight) \mathrm{t}}$

$$
\begin{aligned}
& f\left(\frac{1}{3} ight)=\frac{243}{8} ; f\left(\frac{\sqrt{3}}{3} ight)=\frac{27 \sqrt{3}}{2} ; f\left(\frac{\sqrt{2}}{2} ight)=18 \sqrt{2} ; f\left(\frac{2}{3} ight)=\frac{243}{10} \
& \Rightarrow \min _{x \in(0 ; 1)} f(t)=f\left(\frac{\sqrt{3}}{3} ight)
\end{aligned}
$$

Xét khối chóp có đáy là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng bằng 3 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và...