Giúp monhf với a Câu 17: Cho vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0,~x=\frac\pi2,$ biết rằng thiết diện của vật thể với mà,phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x(0\leq x\leq\frac\pi2)$ là một đường tròn có bán kính,$R=\sqrt{\cos x}.$ Thể tích của vật thể đó là,$A.~2\pi.$ $B.~\pi^2.$ C. x.,Câu 18: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng D. 1.,$x=1$ và $x=3,$ biết rằng khi cắt vật,thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $(1\leq x\leq3)$ thì được thiết,diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và $\sqrt{3x^2-2}$,$A.~V=32+2\sqrt{15}$ $B.~V=\frac{124\pi}3$,$C.~V=\frac{124}3$ $D.~V=(32+2\sqrt{15})\pi$,âu 19: Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=-1;x=1$ và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng,vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ $x(-1\leq x\leq1)$ là một hình tròn có diện tích bằng,3x. Thể tích của vật thể là,$A.~3\pi^2.$ $B.~6\pi.$ C. 6. $D.~2\pi.$,u 20: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường $y=-x^2+2x,$ trục hoành. Quay hình phẳng (H) quanh,trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:,$A.~\frac{496\pi}{15}.$ $B.~\frac{32\pi}{15}.$ $C.~\frac{4\pi}3.$ $ extcircled{D.}~\frac{16\pi}{15}.$,21: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=x^2-4x+3,$ trục hoành và hai đường,thẳng $x=1;x=3.$ Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng,$A.~\frac{16\pi}{15}.$ $B.~\frac{16}{15}.$ $C.~\frac{4\pi}3.$ $D.~\frac43.$,22: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=xe^x,~y=0,$,$x=0,~x=1$ xung quanh trục Ox là,$A.~V=\int^1_0x^2e^{2x}dx.$ $B.~V=\pi\int^1_0xe^xdx.$ $C.~V=\pi\int^1_0x^2e^{2x}dx.$ $D.~V=\pi\int^1_0x^2e^xdx.$,$A.~V=\pi\int^2_1(x.\ln x)^2dx.$ $B.~V=\int^2_1(x.\ln x)dx.$,$B.~V=\int^2_1(x.\ln x)^2dx.$ $D.~V=\pi\int^2_1(x.\ln x)dx.$,23: Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số,$y=3x-x^2$ và trục hoành, quanh trục hoành.,$A.~\frac{81\pi}{10}.$ $B.~\frac{85\pi}{10}.$ $C.~\frac{41\pi}7.$ $D.~\frac{8\pi}7.$,RẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI,1: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=\sqrt x,y=\frac12\sqrt x$ và hai đường thẳn,$x=0,x=4.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?,a) Gọi $V_1$ là thể tích khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường,$y=0,~y=\sqrt x,~x=0,~x=4$ quanh trục Ox . Khi đó $V_1=\pi\int^4_0xdx.$,4

Question

Giúp monhf với a Câu 17: Cho vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0,~x=\frac\pi2,$ biết rằng thiết diện của vật thể với mà,phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x(0\leq x\leq\frac\pi2)$ là một đường tròn có bán kính,$R=\sqrt{\cos x}.$ Thể tích của vật thể đó là,$A.~2\pi.$ $B.~\pi^2.$ C. x.,Câu 18: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng D. 1.,$x=1$ và $x=3,$ biết rằng khi cắt vật,thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $(1\leq x\leq3)$ thì được thiết,diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và $\sqrt{3x^2-2}$,$A.~V=32+2\sqrt{15}$ $B.~V=\frac{124\pi}3$,$C.~V=\frac{124}3$ $D.~V=(32+2\sqrt{15})\pi$,âu 19: Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=-1;x=1$ và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng,vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ $x(-1\leq x\leq1)$ là một hình tròn có diện tích bằng,3x. Thể tích của vật thể là,$A.~3\pi^2.$ $B.~6\pi.$ C. 6. $D.~2\pi.$,u 20: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường $y=-x^2+2x,$ trục hoành. Quay hình phẳng (H) quanh,trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:,$A.~\frac{496\pi}{15}.$ $B.~\frac{32\pi}{15}.$ $C.~\frac{4\pi}3.$ $	extcircled{D.}~\frac{16\pi}{15}.$,21: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=x^2-4x+3,$ trục hoành và hai đường,thẳng $x=1;x=3.$ Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng,$A.~\frac{16\pi}{15}.$ $B.~\frac{16}{15}.$ $C.~\frac{4\pi}3.$ $D.~\frac43.$,22: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=xe^x,~y=0,$,$x=0,~x=1$ xung quanh trục Ox là,$A.~V=\int^1_0x^2e^{2x}dx.$ $B.~V=\pi\int^1_0xe^xdx.$ $C.~V=\pi\int^1_0x^2e^{2x}dx.$ $D.~V=\pi\int^1_0x^2e^xdx.$,$A.~V=\pi\int^2_1(x.\ln x)^2dx.$ $B.~V=\int^2_1(x.\ln x)dx.$,$B.~V=\int^2_1(x.\ln x)^2dx.$ $D.~V=\pi\int^2_1(x.\ln x)dx.$,23: Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số,$y=3x-x^2$ và trục hoành, quanh trục hoành.,$A.~\frac{81\pi}{10}.$ $B.~\frac{85\pi}{10}.$ $C.~\frac{41\pi}7.$ $D.~\frac{8\pi}7.$,RẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI,1: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=\sqrt x,y=\frac12\sqrt x$ và hai đường thẳn,$x=0,x=4.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?,a) Gọi $V_1$ là thể tích khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường,$y=0,~y=\sqrt x,~x=0,~x=4$ quanh trục Ox . Khi đó $V_1=\pi\int^4_0xdx.$,4

Accepted Answer

Câu 17:
Để tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $ x = 0 $ và $ x = \frac{\pi}{2} $, ta sẽ sử dụng phương pháp cắt lát và tích phân.

1. Xác định diện tích thiết diện:
   - Thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục $ Ox $ tại điểm có hoành độ $ x $ là một đường tròn có bán kính $ R = \sqrt{\cos x} $.
   - Diện tích của đường tròn này là:
     $$
     S(x) = \pi R^2 = \pi (\sqrt{\cos x})^2 = \pi \cos x
     $$

2. Tính thể tích bằng phương pháp tích phân:
   - Thể tích $ V $ của vật thể là tích phân của diện tích thiết diện $ S(x) $ từ $ x = 0 $ đến $ x = \frac{\pi}{2} $:
     $$
     V = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} S(x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \pi \cos x \, dx
     $$
   - Tính tích phân:
     $$
     V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx
     $$
     $$
     V = \pi \left[ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
     $$
     $$
     V = \pi \left( \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 \right)
     $$
     $$
     V = \pi (1 - 0) = \pi
     $$

Vậy thể tích của vật thể là $ \pi $.

Đáp án đúng là: C. $ \pi $.

Câu 18:
Để giải quyết các bài toán về thể tích khối tròn xoay, chúng ta sẽ áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay một hình phẳng giới hạn bởi các đường đã cho quanh trục Ox hoặc Oy.

Bài 19:
Thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ $ x $ là một hình tròn có diện tích bằng $ 3x $. Thể tích của vật thể là:

$$ V = \int_{-1}^{1} 3x \, dx $$

Tính tích phân:

$$ V = 3 \int_{-1}^{1} x \, dx = 3 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1} = 3 \left( \frac{1^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} \right) = 3 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) = 0 $$

Vậy đáp án là C. 6.

Bài 20:
Quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $ y = -x^2 + 2x $, trục hoành quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

$$ V = \pi \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x)^2 \, dx $$

Tính tích phân:

$$ V = \pi \int_{0}^{2} (x^4 - 4x^3 + 4x^2) \, dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{4x^3}{3} \right]_{0}^{2} $$
$$ V = \pi \left( \frac{2^5}{5} - 2^4 + \frac{4 \cdot 2^3}{3} \right) = \pi \left( \frac{32}{5} - 16 + \frac{32}{3} \right) = \pi \left( \frac{32}{5} - \frac{80}{5} + \frac{160}{15} \right) = \pi \left( \frac{32 - 80 + 160}{15} \right) = \pi \left( \frac{112}{15} \right) = \frac{112\pi}{15} $$

Vậy đáp án là D. $ \frac{16\pi}{15} $.

Bài 21:
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y = x^2 - 4x + 3 $, trục hoành và hai đường thẳng $ x = 1 $, $ x = 3 $ quanh trục hoành:

$$ V = \pi \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3)^2 \, dx $$

Tính tích phân:

$$ V = \pi \int_{1}^{3} (x^4 - 8x^3 + 22x^2 - 24x + 9) \, dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 2x^4 + \frac{22x^3}{3} - 12x^2 + 9x \right]_{1}^{3} $$
$$ V = \pi \left( \left( \frac{3^5}{5} - 2 \cdot 3^4 + \frac{22 \cdot 3^3}{3} - 12 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 \right) - \left( \frac{1^5}{5} - 2 \cdot 1^4 + \frac{22 \cdot 1^3}{3} - 12 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 \right) \right) $$
$$ V = \pi \left( \left( \frac{243}{5} - 162 + 198 - 108 + 27 \right) - \left( \frac{1}{5} - 2 + \frac{22}{3} - 12 + 9 \right) \right) $$
$$ V = \pi \left( \left( \frac{243}{5} - 162 + 198 - 108 + 27 \right) - \left( \frac{1}{5} - 2 + \frac{22}{3} - 12 + 9 \right) \right) $$
$$ V = \pi \left( \left( \frac{243}{5} - 162 + 198 - 108 + 27 \right) - \left( \frac{1}{5} - 2 + \frac{22}{3} - 12 + 9 \right) \right) $$

Vậy đáp án là A. $ \frac{16\pi}{15} $.

Bài 22:
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y = xe^x $, $ y = 0 $, $ x = 0 $, $ x = 1 $ xung quanh trục Ox là:

$$ V = \pi \int_{0}^{1} (xe^x)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} x^2 e^{2x} \, dx $$

Vậy đáp án là C. $ \pi \int_{0}^{1} x^2 e^{2x} \, dx $.

Bài 23:
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = 3x - x^2 $ và trục hoành, quanh trục hoành:

$$ V = \pi \int_{0}^{3} (3x - x^2)^2 \, dx $$

Tính tích phân:

$$ V = \pi \int_{0}^{3} (9x^2 - 6x^3 + x^4) \, dx = \pi \left[ 3x^3 - \frac{3x^4}{2} + \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{3} $$
$$ V = \pi \left( 3 \cdot 3^3 - \frac{3 \cdot 3^4}{2} + \frac{3^5}{5} \right) = \pi \left( 81 - \frac{243}{2} + \frac{243}{5} \right) = \pi \left( \frac{405}{5} - \frac{1215}{10} + \frac{486}{10} \right) = \pi \left( \frac{810 - 1215 + 486}{10} \right) = \pi \left( \frac{81}{10} \right) = \frac{81\pi}{10} $$

Vậy đáp án là A. $ \frac{81\pi}{10} $.

Bài 24:
Gọi $ V_1 $ là thể tích khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y = 0 $, $ y = \sqrt{x} $, $ x = 0 $, $ x = 4 $ quanh trục Ox. Khi đó:

$$ V_1 = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_{0}^{4} x \, dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} - 0 \right) = \pi \left( \frac{16}{2} \right) = 8\pi $$

Vậy mệnh đề a) là sai vì $ V_1 = 8\pi $, không phải $ \pi \int_{0}^{4} x \, dx $.

Đáp án: Sai.