Giúp mình với! $\frac{2x^2-20x+50}{3x+3}.\frac{x^2-1}{4(x-5)}.$ $f)~\frac{x-2}{x+1}:\frac{x^2-5x+6}{x^2-2x-3}$,$8)~\frac x{x-2y}+\frac x{x+2y}+\frac{4xy}{4y^3-x^3}$ $h)~\frac1{x-y}+\frac{3xy}{x^3-x^3}+\frac{x-y}{x^2+xy+y^3}$,$i)~(\frac2{x+2}+\frac2{x-1}).\frac{x^2-4}{4x^2-1}.$ $j)~1+\frac{x^3-x}{x^2+1}.(\frac1{1-x}-\frac1{1-x^2})$,Dạng 2. Biểu thức tổng hợp

Question

Accepted Answer

Để giải quyết các bài toán trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết và cẩn thận. Dưới đây là lời giải cho từng bài toán:

a) $\frac{2x^2-20x+50}{3x+3}.\frac{x^2-1}{4(x-5)}$

Đầu tiên, ta phân tích các phân thức:
- Ta thấy $2x^2 - 20x + 50 = 2(x^2 - 10x + 25) = 2(x - 5)^2$
- $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Do đó, biểu thức trở thành:
$$ \frac{2(x - 5)^2}{3(x + 1)} . \frac{(x - 1)(x + 1)}{4(x - 5)} $$

Rút gọn các thừa số chung:
$$ = \frac{2(x - 5)(x - 1)}{6} = \frac{(x - 5)(x - 1)}{3} $$

b) $\frac{x-2}{x+1}:\frac{x^2-5x+6}{x^2-2x-3}$

Phân tích các phân thức:
- $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$
- $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$

Biểu thức trở thành:
$$ \frac{x-2}{x+1} : \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+1)} $$

Chuyển đổi phép chia thành phép nhân:
$$ = \frac{x-2}{x+1} . \frac{(x-3)(x+1)}{(x-2)(x-3)} $$

Rút gọn các thừa số chung:
$$ = 1 $$

c) $\frac{x}{x-2y}+\frac{x}{x+2y}+\frac{4xy}{4y^2-x^2}$

Phân tích các phân thức:
- $4y^2 - x^2 = (2y - x)(2y + x)$

Biểu thức trở thành:
$$ \frac{x}{x-2y} + \frac{x}{x+2y} + \frac{4xy}{(2y-x)(2y+x)} $$

Tìm mẫu chung và cộng các phân thức:
$$ = \frac{x(x+2y) + x(x-2y) + 4xy}{(x-2y)(x+2y)} $$
$$ = \frac{x^2 + 2xy + x^2 - 2xy + 4xy}{(x-2y)(x+2y)} $$
$$ = \frac{2x^2 + 4xy}{(x-2y)(x+2y)} $$
$$ = \frac{2x(x + 2y)}{(x-2y)(x+2y)} $$

Rút gọn các thừa số chung:
$$ = \frac{2x}{x-2y} $$

d) $\frac{1}{x-y}+\frac{3xy}{x^3-x^2}+\frac{x-y}{x^2+xy+y^2}$

Phân tích các phân thức:
- $x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$
- $x^2 + xy + y^2$ không thể phân tích thêm

Biểu thức trở thành:
$$ \frac{1}{x-y} + \frac{3xy}{x^2(x-1)} + \frac{x-y}{x^2+xy+y^2} $$

Tìm mẫu chung và cộng các phân thức:
$$ = \frac{x^2(x-1)(x^2+xy+y^2) + 3xy(x-y)(x^2+xy+y^2) + (x-y)x^2(x-1)}{x^2(x-1)(x-y)(x^2+xy+y^2)} $$

e) $(\frac{2}{x+2}+\frac{2}{x-1}).\frac{x^2-4}{4x^2-1}$

Phân tích các phân thức:
- $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
- $4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$

Biểu thức trở thành:
$$ (\frac{2}{x+2} + \frac{2}{x-1}) . \frac{(x-2)(x+2)}{(2x-1)(2x+1)} $$

Tìm mẫu chung và cộng các phân thức:
$$ = \frac{2(x-1) + 2(x+2)}{(x+2)(x-1)} . \frac{(x-2)(x+2)}{(2x-1)(2x+1)} $$
$$ = \frac{2x - 2 + 2x + 4}{(x+2)(x-1)} . \frac{(x-2)(x+2)}{(2x-1)(2x+1)} $$
$$ = \frac{4x + 2}{(x+2)(x-1)} . \frac{(x-2)(x+2)}{(2x-1)(2x+1)} $$

Rút gọn các thừa số chung:
$$ = \frac{2(2x + 1)}{(x+2)(x-1)} . \frac{(x-2)(x+2)}{(2x-1)(2x+1)} $$
$$ = \frac{2(x-2)}{(x-1)(2x-1)} $$

f) $1 + \frac{x^3 - x}{x^2 + 1} . (\frac{1}{1-x} - \frac{1}{1-x^2})$

Phân tích các phân thức:
- $x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)$
- $1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$

Biểu thức trở thành:
$$ 1 + \frac{x(x-1)(x+1)}{x^2+1} . \left( \frac{1}{1-x} - \frac{1}{(1-x)(1+x)} \right) $$

Tìm mẫu chung và trừ các phân thức:
$$ = 1 + \frac{x(x-1)(x+1)}{x^2+1} . \left( \frac{1+x - 1}{(1-x)(1+x)} \right) $$
$$ = 1 + \frac{x(x-1)(x+1)}{x^2+1} . \frac{x}{(1-x)(1+x)} $$

Rút gọn các thừa số chung:
$$ = 1 + \frac{x^2(x-1)}{x^2+1} . \frac{1}{1-x} $$
$$ = 1 + \frac{-x^2}{x^2+1} $$
$$ = 1 - \frac{x^2}{x^2+1} $$
$$ = \frac{x^2+1 - x^2}{x^2+1} $$
$$ = \frac{1}{x^2+1} $$

Kết luận:
- a) $\frac{(x - 5)(x - 1)}{3}$
- b) $1$
- c) $\frac{2x}{x-2y}$
- d) $\frac{x^2(x-1)(x^2+xy+y^2) + 3xy(x-y)(x^2+xy+y^2) + (x-y)x^2(x-1)}{x^2(x-1)(x-y)(x^2+xy+y^2)}$
- e) $\frac{2(x-2)}{(x-1)(2x-1)}$
- f) $\frac{1}{x^2+1}$