Cho đa thức f(x) = (x - 2)(x² - x + 1) + ax² + bx + c. Biết f(x) chia x-2 dư 11, chia x² - x + 1 dư 3x + 2. Tìm a, b, c.

Question

Accepted Answer

Tính f(2):

f(x) chia x - 2 dư 11, theo định lý Bezout, f(2) = 11.

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
f( x) \ =\ ( x\ -\ 2)( x²\ -\ x\ +\ 1) \ +\ ax²\ +\ bx\ +\ c\
f( 2) \ =\ ( 2\ -\ 2)( 2²\ -\ 2\ +\ 1) \ +\ a( 2) ²\ +\ b( 2) \ +\ c\ =\ 11\
0\ +\ 4a\ +\ 2b\ +\ c\ =\ 11\
4a\ +\ 2b\ +\ c\ =\ 11\ ( 1)
\end{array}$

2. Tính f(x) khi chia cho x² - x + 1:

f(x) chia x² - x + 1 dư 3x + 2.

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
f( x) \ =\ ( x\ -\ 2)( x²\ -\ x\ +\ 1) \ +\ ax²\ +\ bx\ +\ c\
f( x) \ =\ ( x²\ -\ x\ +\ 1)( x\ -\ 2) \ +\ ax²\ +\ bx\ +\ c
\end{array}$

Khi chia ax² + bx + c cho x² - x + 1, ta được: $\displaystyle ax²\ +\ bx\ +\ c\ =\ a( x²\ -\ x\ +\ 1) \ +\ ( b\ +\ a) x\ +\ ( c\ -\ a)$

$\displaystyle f( x) \ =\ ( x²\ -\ x\ +\ 1)( x\ -\ 2\ +\ a) \ +\ ( b\ +\ a) x\ +\ ( c\ -\ a)$

Theo đề bài, dư khi chia f(x) cho x² - x + 1 là 3x + 2.

Vậy:$\displaystyle \ ( b\ +\ a) x\ +\ ( c\ -\ a) \ =\ 3x\ +\ 2.$

Suy ra: $\displaystyle b\ +\ a\ =\ 3\ ( 2) \ c\ -\ a\ =\ 2\ ( 3)$

3. Giải hệ phương trình:

Từ (2): b = 3 - a

Từ (3): c = a + 2

Thay b và c vào (1):

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
4a\ +\ 2( 3\ -\ a) \ +\ ( a\ +\ 2) \ =\ 11\
4a\ +\ 6\ -\ 2a\ +\ a\ +\ 2\ =\ 11\
3a\ +\ 8\ =\ 11\
3a\ =\ 3\
a\ =\ 1
\end{array}$

Thay a = 1 vào (2): b = 3 - 1 = 2

Thay a = 1 vào (3): c = 1 + 2 = 3