giải bài tập

Câu 1. Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số học sinh: Tổng số học sinh = 3 + 8 + 7 + 12 + 7 + 1 + 1 = 41 học sinh. 2. Xác định vị trí của tứ phân vị thứ nhất: Vị trí của Q1 = $\frac{n}{4} = \frac{41}{4} = 10,25$. Do đó, Q1 nằm trong khoảng thứ 11 (vì 10,25 gần nhất là 11). 3. Xác định khoảng chứa Q1: - Khoảng [3;4) có 3 học sinh. - Khoảng [4;5) có 8 học sinh (tổng 11 học sinh). - Khoảng [5;6) có 7 học sinh (tổng 18 học sinh). Vì 11 nằm trong khoảng từ 11 đến 18, nên Q1 nằm trong khoảng [5;6). 4. Áp dụng công thức tính Q1: Q1 = $x_{0} + \frac{\frac{n}{4} - F_{k-1}}{f_{k}} \times l$ - $x_{0} = 5$ (giá trị dưới của khoảng [5;6)). - $\frac{n}{4} = 10,25$. - $F_{k-1} = 11$ (tổng số học sinh trước khoảng [5;6)). - $f_{k} = 7$ (số học sinh trong khoảng [5;6)). - $l = 1$ (độ rộng của khoảng). Thay vào công thức: Q1 = $5 + \frac{10,25 - 11}{7} \times 1$ Q1 = $5 + \frac{-0,75}{7}$ Q1 = $5 - 0,1071$ Q1 ≈ 4,89 Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 4,89 (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp án đúng là: B. 4,84. Câu 2. Để giải phương trình $\log_2x=3$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình logarit, biến số trong dấu logarit phải lớn hơn 0. Do đó, ta có điều kiện $x > 0$. Bước 2: Giải phương trình: - Phương trình $\log_2x=3$ có nghĩa là $x$ là số mà khi lấy logarit cơ số 2 của nó sẽ bằng 3. - Ta viết lại phương trình dưới dạng指数形式：$x = 2^3$。 Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định： - Ta có $x = 2^3 = 8$，và $8 > 0$，thỏa mãn điều kiện xác định。 Vậy nghiệm của phương trình $\log_2x=3$ là $x = 8$。 Đáp án đúng là D. $x = 2^3$。 Câu 3. Để tính tích vô hướng của hai véctơ $\overrightarrow{a} = (1; -2; 1)$ và $\overrightarrow{b} = (2; -4; -2)$, ta thực hiện theo công thức sau: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \] Trong đó: - \(a_x = 1\) - \(a_y = -2\) - \(a_z = 1\) - \(b_x = 2\) - \(b_y = -4\) - \(b_z = -2\) Thay các giá trị này vào công thức, ta có: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-4) + 1 \cdot (-2) \] Tính từng phần: \[ 1 \cdot 2 = 2 \] \[ (-2) \cdot (-4) = 8 \] \[ 1 \cdot (-2) = -2 \] Cộng lại các kết quả: \[ 2 + 8 - 2 = 8 \] Vậy, tích vô hướng của hai véctơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là 8. Đáp án đúng là: A. 8. Câu 4. Để tìm tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của một tam giác trong không gian. Nếu \( A(x_1, y_1, z_1) \), \( B(x_2, y_2, z_2) \), và \( C(x_3, y_3, z_3) \) là ba đỉnh của tam giác, thì tọa độ trọng tâm \( G \) sẽ là: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \] Áp dụng vào bài toán này, ta có: - \( A(2, 1, -3) \) - \( B(4, 2, 1) \) - \( C(3, 0, 5) \) Tọa độ trọng tâm \( G \) sẽ là: \[ G\left(\frac{2 + 4 + 3}{3}, \frac{1 + 2 + 0}{3}, \frac{-3 + 1 + 5}{3}\right) \] Ta thực hiện các phép tính: \[ G\left(\frac{9}{3}, \frac{3}{3}, \frac{3}{3}\right) \] \[ G(3, 1, 1) \] Vậy tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) là \( G(3, 1, 1) \). Do đó, đáp án đúng là: B. \( G(3, 1, 1) \). Câu 5. Để xác định tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \), ta cần tìm giá trị của \( x \) làm mẫu số bằng 0. Tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \) là giá trị \( x \) sao cho \( cx + d = 0 \). Giải phương trình \( cx + d = 0 \): \[ cx + d = 0 \\ cx = -d \\ x = -\frac{d}{c} \] Do đó, tiệm cận đứng của hàm số là \( x = -\frac{d}{c} \). Theo đồ thị, ta thấy rằng tiệm cận đứng của hàm số là đường thẳng \( x = -1 \). Do đó, ta có: \[ -\frac{d}{c} = -1 \\ \frac{d}{c} = 1 \] Vậy, đáp án đúng là: C. \( x = -1 \) Đáp số: C. \( x = -1 \) Câu 6. Để giải bất phương trình $\log(x-1) \geq 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log(x-1)$, ta cần đảm bảo rằng $x-1 > 0$. - Điều này dẫn đến $x > 1$. 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log(x-1) \geq 1$. - Biến đổi tương đương: $\log(x-1) \geq \log(10)$ (vì $\log(10) = 1$). - Do hàm số logarit cơ số 10 là hàm số đồng biến, nên ta có: \[ x - 1 \geq 10 \] - Giải phương trình này: \[ x \geq 11 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta đã xác định điều kiện $x > 1$. Kết hợp với điều kiện từ bất phương trình, ta có $x \geq 11$. 4. Kết luận tập nghiệm: - Tập nghiệm của bất phương trình là $[11; +\infty)$. Vậy đáp án đúng là: A. $[11; +\infty)$. Câu 7. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Điều này có nghĩa là O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, và O cũng là trung điểm của cả hai đường chéo này. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh SA và SD. Ta sẽ chứng minh rằng mặt phẳng (MNO) song song với mặt phẳng (SAD). Bước 1: Xác định các đường thẳng song song. - Vì M là trung điểm của SA và N là trung điểm của SD, nên MN là đường trung bình của tam giác SAD. Do đó, MN song song với AD (theo tính chất của đường trung bình trong tam giác). Bước 2: Xác định các đường thẳng cắt nhau. - Mặt phẳng (MNO) bao gồm các đường thẳng MN, MO và NO. - Mặt phẳng (SAD) bao gồm các đường thẳng SA, AD và SD. Bước 3: Kiểm tra điều kiện song song. - MN song song với AD (đã chứng minh ở Bước 1). - MO nằm trong mặt phẳng (SAD) vì O là trung điểm của BD và nằm trên đường thẳng BD, đồng thời M nằm trên SA. - NO nằm trong mặt phẳng (SAD) vì O là trung điểm của BD và nằm trên đường thẳng BD, đồng thời N nằm trên SD. Do đó, mặt phẳng (MNO) song song với mặt phẳng (SAD) vì MN song song với AD và các đường thẳng MO và NO nằm trong mặt phẳng (SAD). Vậy đáp án đúng là: D. (SAD). Câu 8. Ta có: \[ \int^5_9 f(x) \, dx = -\int^9_5 f(x) \, dx \] Biết rằng: \[ \int^9_5 f(x) \, dx = 25 \] Do đó: \[ \int^5_9 f(x) \, dx = -25 \] Vậy đáp án đúng là C. -25. Câu 9. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong một cấp số nhân, mỗi số hạng được tính bằng cách nhân số hạng trước đó với một hằng số gọi là công bội. Ta sẽ ký hiệu công bội này là $q$. Cấp số nhân $(u_n)$ có dạng: \[ u_1, u_1q, u_1q^2, u_1q^3, u_1q^4, u_1q^5, u_1q^6, \ldots \] Theo đề bài, ta có: \[ u_2 \cdot u_6 = 64 \] Ta thay các số hạng tương ứng vào: \[ u_2 = u_1q \] \[ u_6 = u_1q^5 \] Do đó: \[ u_2 \cdot u_6 = (u_1q) \cdot (u_1q^5) = u_1^2 q^6 = 64 \] Bây giờ, ta cần tìm giá trị của $u_3 \cdot u_5$. Ta có: \[ u_3 = u_1q^2 \] \[ u_5 = u_1q^4 \] Nhân hai số hạng này lại: \[ u_3 \cdot u_5 = (u_1q^2) \cdot (u_1q^4) = u_1^2 q^6 \] Chúng ta đã biết từ trên rằng: \[ u_1^2 q^6 = 64 \] Vậy: \[ u_3 \cdot u_5 = 64 \] Đáp số: 64