Giải chi tiết dùm ạ PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.,Câu 1: Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=(2x-3)^2$ thỏa mãn $F(-1)=-17.$ Tính $F(0)=?$ (Kết,quả làm tròn đến hàng phần chục),Câu 2: Cho $\int^1_0f(x)dx=2.$ Khi đó $\int^1_0[2f(x)+e^x]dx$ bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm),Câu 3: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm là $I(1;1;-2)$ và tiếp xúc với đường thẳng,$(d):\frac x2=\frac{y+1}3=\frac{z-4}{-1}.$ Tính bán kính của mặt cầu (S). (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để tính nguyên hàm $ F(x) $ của hàm số $ f(x) = (2x - 3)^2 $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm nguyên hàm của $ f(x) $.

Ta có:
$$ f(x) = (2x - 3)^2 $$

Áp dụng công thức nguyên hàm của dạng $ (ax + b)^n $:
$$ \int (2x - 3)^2 \, dx = \frac{(2x - 3)^3}{3 \cdot 2} + C = \frac{(2x - 3)^3}{6} + C $$

Do đó:
$$ F(x) = \frac{(2x - 3)^3}{6} + C $$

Bước 2: Xác định hằng số $ C $ dựa trên điều kiện $ F(-1) = -17 $.

Thay $ x = -1 $ vào $ F(x) $:
$$ F(-1) = \frac{(2(-1) - 3)^3}{6} + C = -17 $$
$$ F(-1) = \frac{(-2 - 3)^3}{6} + C = -17 $$
$$ F(-1) = \frac{(-5)^3}{6} + C = -17 $$
$$ F(-1) = \frac{-125}{6} + C = -17 $$

Giải phương trình để tìm $ C $:
$$ \frac{-125}{6} + C = -17 $$
$$ C = -17 + \frac{125}{6} $$
$$ C = \frac{-102 + 125}{6} $$
$$ C = \frac{23}{6} $$

Bước 3: Viết lại $ F(x) $ với giá trị của $ C $.

$$ F(x) = \frac{(2x - 3)^3}{6} + \frac{23}{6} $$

Bước 4: Tính $ F(0) $.

Thay $ x = 0 $ vào $ F(x) $:
$$ F(0) = \frac{(2(0) - 3)^3}{6} + \frac{23}{6} $$
$$ F(0) = \frac{(-3)^3}{6} + \frac{23}{6} $$
$$ F(0) = \frac{-27}{6} + \frac{23}{6} $$
$$ F(0) = \frac{-27 + 23}{6} $$
$$ F(0) = \frac{-4}{6} $$
$$ F(0) = -\frac{2}{3} \approx -0.7 $$

Vậy, $ F(0) \approx -0.7 $.

Câu 2:
Để tính $\int^1_0[2f(x)+e^x]dx$, ta sẽ sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân.

Bước 1: Tính $\int^1_0 2f(x) dx$
$$
\int^1_0 2f(x) dx = 2 \int^1_0 f(x) dx
$$
Biết rằng $\int^1_0 f(x) dx = 2$, nên:
$$
2 \int^1_0 f(x) dx = 2 \times 2 = 4
$$

Bước 2: Tính $\int^1_0 e^x dx$
$$
\int^1_0 e^x dx = [e^x]^1_0 = e^1 - e^0 = e - 1
$$

Bước 3: Cộng hai kết quả trên lại
$$
\int^1_0 [2f(x) + e^x] dx = \int^1_0 2f(x) dx + \int^1_0 e^x dx = 4 + (e - 1)
$$

Bước 4: Thay giá trị của $e$ (khoảng 2.71828) vào biểu thức
$$
4 + (e - 1) = 4 + (2.71828 - 1) = 4 + 1.71828 = 5.71828
$$

Cuối cùng, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm:
$$
5.71828 \approx 5.72
$$

Vậy, $\int^1_0 [2f(x) + e^x] dx = 5.72$.

Câu 3:
Để tính bán kính của mặt cầu (S) có tâm là $I(1;1;-2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $(d):\frac{x}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-4}{-1}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng (d):
   Đường thẳng $(d)$ có phương trình tham số là $\frac{x}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-4}{-1}$. 
   Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) là $\vec{u} = (2, 3, -1)$.

2. Tìm khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng (d):
   Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian. Khoảng cách này cũng chính là bán kính của mặt cầu (S).

Công thức khoảng cách từ điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ đến đường thẳng $(d)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a, b, c)$ và đi qua điểm $A(x_1, y_1, z_1)$ là:
   $$
   d(M, (d)) = \frac{\left| \vec{AM} \times \vec{u} \right|}{\left| \vec{u} \right|}
   $$

Trong đó:
   - Điểm $A$ trên đường thẳng (d) có tọa độ $(x_1, y_1, z_1) = (0, -1, 4)$ (lấy t = 0 trong phương trình tham số của (d)).
   - Điểm $M$ là tâm của mặt cầu $I(1, 1, -2)$.
   - Vectơ $\vec{AM} = (1 - 0, 1 + 1, -2 - 4) = (1, 2, -6)$.
   - Vectơ $\vec{u} = (2, 3, -1)$.

Tính tích vector $\vec{AM} \times \vec{u}$:
   $$
   \vec{AM} \times \vec{u} = \begin{vmatrix}
   \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
   1 & 2 & -6 \
   2 & 3 & -1
   \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot (-1) - (-6) \cdot 3) - \vec{j}(1 \cdot (-1) - (-6) \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot 3 - 2 \cdot 2)
   $$
   $$
   = \vec{i}(-2 + 18) - \vec{j}(-1 + 12) + \vec{k}(3 - 4)
   $$
   $$
   = 16\vec{i} - 11\vec{j} - \vec{k}
   $$
   $$
   = (16, -11, -1)
   $$

Độ dài của vectơ $\vec{AM} \times \vec{u}$:
   $$
   \left| \vec{AM} \times \vec{u} \right| = \sqrt{16^2 + (-11)^2 + (-1)^2} = \sqrt{256 + 121 + 1} = \sqrt{378}
   $$

Độ dài của vectơ $\vec{u}$:
   $$
   \left| \vec{u} \right| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}
   $$

Khoảng cách từ điểm $I$ đến đường thẳng $(d)$:
   $$
   d(I, (d)) = \frac{\sqrt{378}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{378}{14}} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5.2
   $$

Vậy bán kính của mặt cầu (S) là $5.2$.