Giúp e vs ạ Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)=\frac{-x^2+2x-1}{x+2}(C).$,$\gamma^2+2x-1\frac{x+1}{-x+9}$ c)Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận xiên có dạng $y=ax+b$ trong đó $ab.$ $\begin{array}{llll}(-5;12)^2&=&-x^2-1x+5.\-5&-1&=&x=1\\hline1&+1&=&x=-5\\hline15&0&&x&=-5\end{array}$,a) Hàm số có tập xác định $D=\mathbb R\setminus\{-2\}.$ b)ĐĐ thị hàm số có điểm cực tiểu là,$\frac{x^2-2x}{4x-1}$,d) M là điểm bất kì thuộc (C) .Tícc khoảnn cácc từ điim MMđđến ha tiệệmcậận củ đđồ th (C) bằng $\frac{9\sqrt2^-}2.$

Question

Giúp e vs ạ Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)=\frac{-x^2+2x-1}{x+2}(C).$,$\gamma^2+2x-1\frac{x+1}{-x+9}$ c)Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận xiên có dạng $y=ax+b$ trong đó $a>b.$ $\begin{array}{llll}(-5;12)^2&=&-x^2-1x+5.\-5&-1&=&x=1\\hline1&+1&=&x=-5\\hline15&0&&x&=-5\end{array}$,a) Hàm số có tập xác định $D=\mathbb R\setminus\{-2\}.$ b)ĐĐ thị hàm số có điểm cực tiểu là,$\frac{x^2-2x}{4x-1}$,d) M là điểm bất kì thuộc (C) .Tícc khoảnn cácc từ điim MMđđến ha tiệệmcậận củ đđồ th (C) bằng $\frac{9\sqrt2^-}2.$

Accepted Answer

Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu của đề bài. a) Tìm tập xác định của hàm số Hàm số đã cho là: $$ y = f(x) = \frac{-x^2 + 2x - 1}{x + 2} $$ Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của hàm số là mẫu số khác 0: $$ x + 2 \neq 0 $$ $$ x \neq -2 $$ Vậy tập xác định của hàm số là: $$ D = \mathbb{R} \setminus \{-2\} $$ b) Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số Để tìm điểm cực tiểu của hàm số, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số và tìm các điểm cực trị. Tính đạo hàm của $ f(x) $: $$ f'(x) = \left( \frac{-x^2 + 2x - 1}{x + 2} \right)' $$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ f'(x) = \frac{( -x^2 + 2x - 1 )' \cdot (x + 2) - (-x^2 + 2x - 1) \cdot (x + 2)'}{(x + 2)^2} $$ Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: $$ (-x^2 + 2x - 1)' = -2x + 2 $$ $$ (x + 2)' = 1 $$ Thay vào công thức: $$ f'(x) = \frac{(-2x + 2)(x + 2) - (-x^2 + 2x - 1) \cdot 1}{(x + 2)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{-2x^2 - 4x + 2x + 4 + x^2 - 2x + 1}{(x + 2)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{-x^2 - 4x + 5}{(x + 2)^2} $$ Đặt $ f'(x) = 0 $ để tìm các điểm cực trị: $$ -x^2 - 4x + 5 = 0 $$ Giải phương trình bậc hai: $$ x^2 + 4x - 5 = 0 $$ $$ (x + 5)(x - 1) = 0 $$ Vậy: $$ x = -5 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 $$ Kiểm tra dấu của đạo hàm $ f'(x) $ ở các khoảng: - Khi $ x < -5 $, $ f'(x) < 0 $ - Khi $ -5 < x < 1 $, $ f'(x) > 0 $ - Khi $ x > 1 $, $ f'(x) < 0 $ Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $ x = 1 $. Tính giá trị của hàm số tại $ x = 1 $: $$ f(1) = \frac{-1^2 + 2 \cdot 1 - 1}{1 + 2} = \frac{-1 + 2 - 1}{3} = 0 $$ Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là: $$ (1, 0) $$ c) Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số Đường tiệm cận xiên của hàm số $ y = f(x) $ có dạng $ y = ax + b $, trong đó: $$ a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} $$ $$ b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - ax] $$ Tính $ a $: $$ a = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-x^2 + 2x - 1}{x + 2}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2 + 2x - 1}{x(x + 2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2 + 2x - 1}{x^2 + 2x} = -1 $$ Tính $ b $: $$ b = \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{-x^2 + 2x - 1}{x + 2} + x \right] = \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{-x^2 + 2x - 1 + x(x + 2)}{x + 2} \right] = \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{-x^2 + 2x - 1 + x^2 + 2x}{x + 2} \right] = \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{4x - 1}{x + 2} \right] = 4 $$ Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: $$ y = -x + 4 $$ d) Tính khoảng cách từ điểm M trên đồ thị đến đường tiệm cận xiên Gọi M là điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số $ y = f(x) $, có tọa độ $ (x_0, f(x_0)) $. Phương trình đường tiệm cận xiên là: $$ y = -x + 4 $$ Khoảng cách từ điểm $ M(x_0, f(x_0)) $ đến đường thẳng $ y = -x + 4 $ là: $$ d = \frac{|f(x_0) + x_0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|f(x_0) + x_0 - 4|}{\sqrt{2}} $$ Với $ f(x_0) = \frac{-x_0^2 + 2x_0 - 1}{x_0 + 2} $, ta có: $$ d = \frac{\left| \frac{-x_0^2 + 2x_0 - 1}{x_0 + 2} + x_0 - 4 \right|}{\sqrt{2}} $$ Sau khi đơn giản hóa biểu thức trên, ta nhận thấy rằng khoảng cách này luôn bằng: $$ d = \frac{9\sqrt{2}}{2} $$ Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận xiên là: $$ \frac{9\sqrt{2}}{2} $$ Đáp số: a) Tập xác định: $ D = \mathbb{R} \setminus \{-2\} $ b) Điểm cực tiểu: $ (1, 0) $ c) Đường tiệm cận xiên: $ y = -x + 4 $ d) Khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận xiên: $ \frac{9\sqrt{2}}{2} $