Giúp giải chi tiết bự tăng trưởng của một loại vi khuẩn ước tính theo công thức $S=A.e^{rt},$ trong đó A là sô lượng,vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng $(r0),$ t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng,vi khuẩn ban đầu có 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn,tăng gấp 10 lần?

Question

Giúp giải chi tiết bự tăng trưởng của một loại vi khuẩn ước tính theo công thức $S=A.e^{rt},$ trong đó A là sô lượng,vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng $(r>0),$ t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng,vi khuẩn ban đầu có 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn,tăng gấp 10 lần?

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tăng trưởng của vi khuẩn $ S = A e^{rt} $.

Bước 1: Xác định các thông số ban đầu.
- Số lượng vi khuẩn ban đầu $ A = 100 $ con.
- Sau 5 giờ, số lượng vi khuẩn là 300 con.

Bước 2: Thay các giá trị vào công thức để tìm tỉ lệ tăng trưởng $ r $.
$$ 300 = 100 e^{5r} $$
$$ 3 = e^{5r} $$

Bước 3: Lấy logarit tự nhiên (ln) hai vế để giải ra $ r $.
$$ \ln(3) = \ln(e^{5r}) $$
$$ \ln(3) = 5r $$
$$ r = \frac{\ln(3)}{5} $$

Bước 4: Tìm thời gian $ t $ để số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần.
- Số lượng vi khuẩn sau khi tăng gấp 10 lần là $ 1000 $ con.
$$ 1000 = 100 e^{rt} $$
$$ 10 = e^{rt} $$

Bước 5: Thay $ r $ vào phương trình trên.
$$ 10 = e^{\left(\frac{\ln(3)}{5}\right)t} $$

Bước 6: Lấy logarit tự nhiên (ln) hai vế để giải ra $ t $.
$$ \ln(10) = \ln\left(e^{\left(\frac{\ln(3)}{5}\right)t}\right) $$
$$ \ln(10) = \left(\frac{\ln(3)}{5}\right)t $$
$$ t = \frac{5 \ln(10)}{\ln(3)} $$

Bước 7: Tính giá trị của $ t $.
$$ t \approx \frac{5 \times 2.3026}{1.0986} \approx 10.44 \text{ giờ} $$

Vậy sau khoảng 10.44 giờ, số lượng vi khuẩn sẽ tăng gấp 10 lần.