Giải thích và chọn đáp án 11: Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn ước tính theo công thức $S=A.e^{rt},$ trong đó A là sô lượng,vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng $(r0),$ t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng,vi khuẩn ban đầu có 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn,tăng gấp 10 lần? $300=100e^{ST}=11=e^{ST}=3\Rightarrow ST=\ln3,~r=\frac{\ln3}5$ $10=e^{\frac{133}5+}\Rightarrow\frac{\ln3}5+=\ln10$,$ extcircled{A.}~t=\frac5{\log3}~giờ.$ $B.~t=\frac3{\log5}~g^\prime ờ.$ $C.~t=\frac{5\ln3}{\ln10}$ $D.~t=\frac{3\ln5}{\ln10}~$ $\Rightarrow A=\frac{5\ln10}{\ln3}$,giờ.

Question

Giải thích và chọn đáp án 11: Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn ước tính theo công thức $S=A.e^{rt},$ trong đó A là sô lượng,vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng $(r>0),$ t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng,vi khuẩn ban đầu có 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn,tăng gấp 10 lần? $300=100e^{ST}=11=e^{ST}=3\Rightarrow ST=\ln3,~r=\frac{\ln3}5$ $10=e^{\frac{133}5+}\Rightarrow\frac{\ln3}5+=\ln10$,$	extcircled{A.}~t=\frac5{\log3}~giờ.$ $B.~t=\frac3{\log5}~g^\prime ờ.$ $C.~t=\frac{5\ln3}{\ln10}$ $D.~t=\frac{3\ln5}{\ln10}~$ $\Rightarrow A=\frac{5\ln10}{\ln3}$,giờ.

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tăng trưởng của vi khuẩn $ S = A e^{rt} $.

Bước 1: Xác định các thông số ban đầu:
- Số lượng vi khuẩn ban đầu $ A = 100 $ con.
- Sau 5 giờ, số lượng vi khuẩn là 300 con.

Bước 2: Thay các giá trị vào công thức để tìm $ r $:
$$ 300 = 100 e^{5r} $$
$$ 3 = e^{5r} $$

Bước 3: Lấy logarit tự nhiên (ln) hai vế:
$$ \ln(3) = \ln(e^{5r}) $$
$$ \ln(3) = 5r $$
$$ r = \frac{\ln(3)}{5} $$

Bước 4: Tìm thời gian $ t $ để số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần:
- Số lượng vi khuẩn lúc đó sẽ là $ 1000 $ con (vì tăng gấp 10 lần từ 100 con).

Thay vào công thức:
$$ 1000 = 100 e^{rt} $$
$$ 10 = e^{rt} $$

Bước 5: Thay $ r = \frac{\ln(3)}{5} $ vào:
$$ 10 = e^{\left(\frac{\ln(3)}{5}\right)t} $$

Bước 6: Lấy logarit tự nhiên (ln) hai vế:
$$ \ln(10) = \ln\left(e^{\left(\frac{\ln(3)}{5}\right)t}\right) $$
$$ \ln(10) = \left(\frac{\ln(3)}{5}\right)t $$
$$ t = \frac{5 \ln(10)}{\ln(3)} $$

Do đó, thời gian $ t $ để số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần là:
$$ t = \frac{5 \ln(10)}{\ln(3)} $$

Đáp án đúng là:
C. $ t = \frac{5 \ln(10)}{\ln(3)} $ giờ.