Giúp mình với!

Câu 1: Để kiểm tra xem khẳng định nào dưới đây không đúng, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên các công thức tích phân cơ bản. A. $\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C \quad (a \ne -1)$ - Đây là công thức tích phân cơ bản cho lũy thừa, và nó đúng. B. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$ - Đây cũng là công thức tích phân cơ bản cho hàm số $\frac{1}{x}$, và nó đúng. C. $\int e^x dx = e^x + C$ - Đây là công thức tích phân cơ bản cho hàm số mũ $e^x$, và nó đúng. D. $\int a^x dx = a^x \cdot \ln a + C \quad (0 < a \ne 1)$ - Đây là công thức tích phân cho hàm số mũ $a^x$. Tuy nhiên, công thức này không đúng vì tích phân của $a^x$ là $\frac{a^x}{\ln a} + C$. Do đó, khẳng định không đúng là: D. $\int a^x dx = a^x \cdot \ln a + C \quad (0 < a \ne 1)$ Đáp án: D. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân xác định. Cụ thể, nếu \( f(x) \) là hàm số liên tục trên đoạn \([a; b]\) và \( c \) là một điểm nằm trong khoảng \((a, b)\), thì tích phân của \( f(x) \) từ \( a \) đến \( b \) có thể được chia thành tổng của hai tích phân từ \( a \) đến \( c \) và từ \( c \) đến \( b \). Cụ thể hơn, ta có: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx \) - Đây chính là tính chất đã nêu ở trên, do đó khẳng định này là đúng. B. \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx - \int_{c}^{b} f(x) \, dx \) - Khẳng định này sai vì tích phân từ \( a \) đến \( b \) không thể là hiệu của hai tích phân từ \( a \) đến \( c \) và từ \( c \) đến \( b \). C. \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx \cdot \int_{c}^{b} f(x) \, dx \) - Khẳng định này sai vì tích phân từ \( a \) đến \( b \) không thể là tích của hai tích phân từ \( a \) đến \( c \) và từ \( c \) đến \( b \). D. \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx \) - Khẳng định này đúng như đã nêu ở trên. Do đó, khẳng định đúng là: A. \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx \) Đáp án: A. Câu 3: Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f(x)$ liên tục, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,~x=b~(a < b)$, ta cần áp dụng công thức tích phân đúng. Công thức tích phân để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f(x)$ liên tục, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$ và $x=b$ là: \[ S = \left| \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right| \] Lý do là vì diện tích luôn là một giá trị dương, nên ta cần lấy giá trị tuyệt đối của tích phân từ $a$ đến $b$ của hàm số $f(x)$. Do đó, đáp án đúng là: D. $S = \left| \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right|$ Câu 4: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 - 6x + 2 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm từng hạng tử của \( f(x) \). - Nguyên hàm của \( 3x^2 \) là \( \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \). - Nguyên hàm của \( -6x \) là \( \int -6x \, dx = -6 \cdot \frac{x^2}{2} = -3x^2 \). - Nguyên hàm của \( 2 \) là \( \int 2 \, dx = 2x \). Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \). \[ F(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + C \] Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 - 6x + 2 \) là \( F(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + C \). Do đó, đáp án đúng là: C. \( F(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + C \). Câu 5: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 5^x \), chúng ta sẽ sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ \( a^x \). Công thức nguyên hàm của hàm mũ \( a^x \) là: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Trong đó, \( a \) là hằng số dương khác 1 và \( \ln a \) là lôgarit tự nhiên của \( a \). Áp dụng công thức này vào hàm số \( f(x) = 5^x \): 1. Xác định \( a = 5 \). 2. Tính \( \ln 5 \). Do đó, nguyên hàm của \( f(x) = 5^x \) là: \[ F(x) = \frac{5^x}{\ln 5} + C \] Vậy đáp án đúng là: B. \( F(x) = \frac{5^x}{\ln 5} + C \) Đáp án: B. \( F(x) = \frac{5^x}{\ln 5} + C \) Câu 6: Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2 + 2x + 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -1$ và $x = 3$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định khoảng tích phân - Đồ thị hàm số $y = x^2 + 2x + 1$ cắt trục hoành tại điểm $x = -1$ (vì $y = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 0$). - Khoảng tích phân từ $x = -1$ đến $x = 3$. Bước 2: Tính diện tích S bằng cách tích phân hàm số từ $x = -1$ đến $x = 3$ \[ S = \int_{-1}^{3} (x^2 + 2x + 1) \, dx \] Bước 3: Tính tích phân \[ \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C \] Áp dụng cận trên và cận dưới: \[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_{-1}^{3} \] \[ = \left( \frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + (-1) \right) \] \[ = \left( \frac{27}{3} + 9 + 3 \right) - \left( \frac{-1}{3} + 1 - 1 \right) \] \[ = (9 + 9 + 3) - \left( \frac{-1}{3} + 0 \right) \] \[ = 21 - \left( \frac{-1}{3} \right) \] \[ = 21 + \frac{1}{3} \] \[ = \frac{63}{3} + \frac{1}{3} \] \[ = \frac{64}{3} \] Vậy diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2 + 2x + 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -1$ và $x = 3$ là $\frac{64}{3}$. Đáp án đúng là: A. $S = \frac{64}{3}$. Câu 7: Để tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{2x + 1}$, trục hoành và các đường thẳng $x = 4$, $x = 8$ quay quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích bề mặt của khối tròn xoay: - Diện tích bề mặt của khối tròn xoay được xác định bởi công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] - Trong đó, $f(x) = \sqrt{2x + 1}$, $a = 4$, và $b = 8$. 2. Tính tích phân: - Ta cần tính tích phân $\int_{4}^{8} (\sqrt{2x + 1})^2 \, dx$. - $(\sqrt{2x + 1})^2 = 2x + 1$. - Do đó, ta có: \[ V = \pi \int_{4}^{8} (2x + 1) \, dx \] 3. Tính tích phân cụ thể: - Tính tích phân $\int (2x + 1) \, dx$: \[ \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C \] - Đánh giá tích phân từ 4 đến 8: \[ \left[ x^2 + x \right]_{4}^{8} = (8^2 + 8) - (4^2 + 4) = (64 + 8) - (16 + 4) = 72 - 20 = 52 \] 4. Nhân với $\pi$: - Thể tích khối tròn xoay là: \[ V = \pi \times 52 = 52\pi \] Vậy thể tích của khối tròn xoay là $52\pi$. Đáp án đúng là A. $V = 52\pi$. Câu 8: Để xác định vectơ nào không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P):~2x-3y+5z-4=0$, ta cần kiểm tra xem mỗi vectơ có cùng hướng hoặc ngược hướng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng hay không. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (2, -3, 5)$. A. $\overrightarrow{a} = (2, -3, 5)$: - Vectơ này trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$, do đó nó là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. B. $\overrightarrow{b} = (-2, 3, -5)$: - Vectơ này là vectơ đối của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$, tức là $\overrightarrow{b} = -\overrightarrow{n}$. Do đó, nó cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. C. $\overrightarrow{c} = (2, 3, 5)$: - Vectơ này không cùng hướng hoặc ngược hướng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Do đó, nó không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. D. $\overrightarrow{d} = (4, -6, 10)$: - Vectơ này là bội của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$, tức là $\overrightarrow{d} = 2\overrightarrow{n}$. Do đó, nó cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Vậy, vectơ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{c} = (2, 3, 5)$. Đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{c} = (2, 3, 5)$.