giải bài tập toán 11

Câu 1: Ta xét từng đáp án: A. $\sqrt[n]{a^n} = a^{\frac{n}{n}} = a^1 = a$. Đáp án này đúng. B. $\sqrt[n]{a^n} = a^{\frac{n}{m}}$. Đáp án này sai vì $\sqrt[n]{a^n} = a$, không phụ thuộc vào giá trị của m. C. $\sqrt[n]{a^m} = a^{mn}$. Đáp án này sai vì $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, không phải $a^{mn}$. D. $\sqrt[n]{a^m} = a^{m-n}$. Đáp án này sai vì $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, không phải $a^{m-n}$. Vậy đáp án đúng là A. $\sqrt[n]{a^n} = a$. Câu 2: Câu hỏi: Cho x,y là hai số thực dương và m,n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai? A. $x^n \cdot x^n = x^{n+n}$ B. $(x,y)^n = x^{\prime\prime}, y^n$ C. $(x^n)^n = x^{n-n}$ D. $x^m \cdot y^n = (xy)^{m+n}$ Câu trả lời: Ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức một để xác định đẳng thức nào là sai. A. $x^n \cdot x^n = x^{n+n}$ Theo quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số, ta có: $x^n \cdot x^n = x^{n+n}$ Đẳng thức này đúng. B. $(x,y)^n = x^{\prime\prime}, y^n$ Đẳng thức này không có ý nghĩa vì $(x,y)$ là một cặp số thực, không phải là một số thực duy nhất. Do đó, việc nâng một cặp số lên lũy thừa không có ý nghĩa trong ngữ cảnh này. Vì vậy, đẳng thức này sai. C. $(x^n)^n = x^{n-n}$ Theo quy tắc lũy thừa của lũy thừa, ta có: $(x^n)^n = x^{n \cdot n} = x^{n^2}$ Đẳng thức này sai vì $x^{n-n} = x^0 = 1$, còn $(x^n)^n = x^{n^2}$. D. $x^m \cdot y^n = (xy)^{m+n}$ Theo quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số, ta có: $x^m \cdot y^n = (xy)^{m+n}$ Đẳng thức này đúng. Vậy đẳng thức sai là: C. $(x^n)^n = x^{n-n}$ Đáp án: C. $(x^n)^n = x^{n-n}$ Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ sở. Cụ thể, khi nhân hai lũy thừa cùng cơ sở, ta cộng các指数的幂。具体来说，当两个同底数的幂相乘时，我们将指数相加。 \[ a^2 \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{2 + \frac{1}{3}} \] 接下来，我们需要将整数2转换为分数形式以便进行加法运算： \[ 2 = \frac{6}{3} \] 因此， \[ a^{2 + \frac{1}{3}} = a^{\frac{6}{3} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{7}{3}} \] 所以，\( a^2 \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{7}{3}} \)。 答案是选项B：\( a^{\frac{7}{3}} \)。 最终答案是：B. \( a^{\frac{7}{3}} \)。 Câu 4: Để kiểm tra tính đúng đắn của các mệnh đề, ta sẽ áp dụng các tính chất của lôgarit. Mệnh đề A: $\log_ab^a=\alpha\log_ab$ với mọi số thực dương a,b và $a\ne1.$ Theo tính chất của lôgarit, ta có: \[ \log_a(b^a) = a \log_a b \] Do đó, mệnh đề này đúng nếu $\alpha = a$. Tuy nhiên, trong mệnh đề này không có thông tin về $\alpha$, nên ta cần kiểm tra các mệnh đề khác để chắc chắn. Mệnh đề B: $\log_ab^a=\alpha\log_ab$ với mọi số thực dương a,b. Tương tự như trên, ta có: \[ \log_a(b^a) = a \log_a b \] Do đó, mệnh đề này cũng đúng nếu $\alpha = a$. Tuy nhiên, trong mệnh đề này không có thông tin về $\alpha$, nên ta cần kiểm tra các mệnh đề khác để chắc chắn. Mệnh đề C: $\log_ab^a=\alpha\log_ab$ với mọi số thực a,b. Đây là mệnh đề sai vì lôgarit chỉ được định nghĩa cho các số thực dương và $a \neq 1$. Do đó, mệnh đề này không đúng với mọi số thực a và b. Mệnh đề D: $\log_ab^a=\alpha\log_ab$ với mọi số thực a,b và $a\ne1.$ Đây là mệnh đề sai vì lôgarit chỉ được định nghĩa cho các số thực dương và $a \neq 1$. Do đó, mệnh đề này không đúng với mọi số thực a và b. Kết luận: Mệnh đề đúng là A và B, nhưng do yêu cầu của câu hỏi, chúng ta cần chọn mệnh đề đúng nhất. Vì vậy, mệnh đề đúng là: A. $\log_ab^a=\alpha\log_ab$ với mọi số thực dương a,b và $a\ne1.$ Đáp án: A. Câu 5: Ta có: \[ \log_4(4a) = \log_4(4 \times a) \] Áp dụng tính chất của logarit: \[ \log_4(4 \times a) = \log_4 4 + \log_4 a \] Biết rằng \(\log_4 4 = 1\), ta có: \[ \log_4(4a) = 1 + \log_4 a \] Vậy đáp án đúng là: A. \(1 + \log_4 a\). Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. Bước 1: Xác định điều kiện của bài toán. - \(a > 0\) và \(a \neq 1\). Bước 2: Áp dụng công thức logarit cơ bản. - Ta biết rằng \(\log_a(a^x) = x\). Bước 3: Biểu diễn căn bốn của \(a\) dưới dạng lũy thừa. - \(\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}\). Bước 4: Áp dụng tính chất logarit vào biểu thức. - \(\log_a(\sqrt[4]{a}) = \log_a(a^{\frac{1}{4}})\). Bước 5: Sử dụng tính chất \(\log_a(a^x) = x\). - \(\log_a(a^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4}\). Vậy, \(\log_a\sqrt[4]{a} = \frac{1}{4}\). Đáp án đúng là: B. \(\frac{1}{4}\). Câu 7: Để xác định tính chất của hàm số \( y = \log_a x \) (với \( 0 < a \neq 1 \)), ta cần dựa vào đồ thị của hàm số này. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hàm số \( y = \log_a x \) chỉ xác định trên khoảng \( (0; +\infty) \). Do đó, các lựa chọn A và B đều sai vì chúng nói về toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Tiếp theo, ta cần xem xét tính chất tăng hoặc giảm của hàm số trên khoảng \( (0; +\infty) \): - Nếu \( a > 1 \), hàm số \( y = \log_a x \) là hàm số đồng biến trên \( (0; +\infty) \). - Nếu \( 0 < a < 1 \), hàm số \( y = \log_a x \) là hàm số nghịch biến trên \( (0; +\infty) \). Nhìn vào đồ thị, ta thấy rằng hàm số \( y = \log_a x \) đang tăng dần từ trái sang phải. Điều này cho thấy rằng \( a > 1 \). Do đó, hàm số \( y = \log_a x \) là hàm số đồng biến trên \( (0; +\infty) \). Vậy khẳng định đúng là: D. Hàm số đồng biến trên \( (0; +\infty) \).