giúp mình với

Bài 2. Để biểu thức $M$ có giá trị nguyên, ta cần tìm các giá trị nguyên của $x$ sao cho $M$ là số nguyên. Ta có: $M = (\frac{x^2-2}{x^2+2x} + \frac{1}{x+2}) : \frac{x+1}{x}$ Đầu tiên, ta quy đồng mẫu số của hai phân thức trong ngoặc: $\frac{x^2-2}{x^2+2x} = \frac{x^2-2}{x(x+2)}$ $\frac{1}{x+2} = \frac{x}{x(x+2)}$ Do đó: $M = (\frac{x^2-2+x}{x(x+2)}) : \frac{x+1}{x}$ $= \frac{x^2+x-2}{x(x+2)} : \frac{x+1}{x}$ $= \frac{(x+2)(x-1)}{x(x+2)} : \frac{x+1}{x}$ $= \frac{x-1}{x} : \frac{x+1}{x}$ $= \frac{x-1}{x} \times \frac{x}{x+1}$ $= \frac{x-1}{x+1}$ Để $\frac{x-1}{x+1}$ là số nguyên, ta cần tìm các giá trị nguyên của $x$ sao cho $x-1$ chia hết cho $x+1$. Ta xét các trường hợp: 1. $x-1 = k(x+1)$ với $k$ là số nguyên. $x-1 = kx + k$ $x - kx = k + 1$ $(1-k)x = k + 1$ $x = \frac{k+1}{1-k}$ Để $x$ là số nguyên, $\frac{k+1}{1-k}$ phải là số nguyên. Ta xét các giá trị của $k$: - Nếu $k = 0$, ta có $x = \frac{1}{1} = 1$. - Nếu $k = 1$, ta có $x = \frac{2}{0}$ (không xác định). - Nếu $k = -1$, ta có $x = \frac{0}{2} = 0$ (loại vì $x \neq 0$). - Nếu $k = 2$, ta có $x = \frac{3}{-1} = -3$. - Nếu $k = -2$, ta có $x = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$ (loại vì không phải số nguyên). - Nếu $k = 3$, ta có $x = \frac{4}{-2} = -2$ (loại vì $x \neq -2$). - Nếu $k = -3$, ta có $x = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ (loại vì không phải số nguyên). Vậy các giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn là $x = 1$ và $x = -3$. Đáp số: Có 2 giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn để $M$ nhận giá trị nguyên: $x = 1$ và $x = -3$. Bài 3. Để phương trình $(m^2-3m+2)x = m-2$ có vô số nghiệm, điều kiện cần thiết là hệ số của ẩn x phải bằng 0 và đồng thời vế phải cũng phải bằng 0. Do đó ta có: $m^2 - 3m + 2 = 0$ và $m - 2 = 0$ Giải phương trình bậc hai $m^2 - 3m + 2 = 0$, ta có: $(m - 1)(m - 2) = 0$ Suy ra: $m = 1$ hoặc $m = 2$. Tuy nhiên, để phương trình có vô số nghiệm, cả hai điều kiện trên phải thoả mãn đồng thời. Do đó, ta kiểm tra: - Khi $m = 1$, ta có $m - 2 = 1 - 2 = -1 \neq 0$. Vậy $m = 1$ không thoả mãn điều kiện. - Khi $m = 2$, ta có $m - 2 = 2 - 2 = 0$. Vậy $m = 2$ thoả mãn điều kiện. Vậy giá trị của m để phương trình có vô số nghiệm là $m = 2$. Bài 4. Ta có $AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}\Rightarrow AD^{2}=13^{2}-5^{2}=144$ $AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}\Rightarrow CD^{2}=15^{2}-144=81$ $\Rightarrow CD=9(cm)$ $\Rightarrow BC=BD+CD=14(cm)$ Bài 5. Gọi vận tốc ban đầu của xe con là $v_{1}$ với thời gian là $t_{1}$ giờ Gọi vận tốc sau khi tăng của xe con là $v_{2}$ với thời gian là $t_{2}$ giờ Gọi vận tốc xe tải là $v_{3}$ với thời gian là $t_{3}$ giờ Trên cùng một đoạn đường, vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian: $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{t_{2}}{t_{1}}$ Suy ra: $\frac{45}{50} = \frac{t_{2}}{t_{1}}$ $\frac{9}{10} = \frac{t_{2}}{t_{1}}$ $t_{2} = \frac{9}{10} t_{1}$ Trên cùng một đoạn đường, vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian: $\frac{v_{1}}{v_{3}} = \frac{t_{3}}{t_{1}}$ Suy ra: $\frac{45}{30} = \frac{t_{3}}{t_{1}}$ $\frac{3}{2} = \frac{t_{3}}{t_{1}}$ $t_{3} = \frac{3}{2} t_{1}$ Thời gian xe con đi hết quãng đường AB là: $t_{1} + t_{2} = t_{1} + \frac{9}{10} t_{1} = \frac{19}{10} t_{1}$ (giờ) Thời gian xe tải đi hết quãng đường AB là: $t_{3} + \frac{1}{4} t_{3} = \frac{3}{2} t_{1} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{2} t_{1} = \frac{15}{8} t_{1}$ (giờ) Biết xe con đến sớm hơn xe tải 2 giờ 27 phút tức là 2,45 giờ, ta có: $\frac{15}{8} t_{1} - \frac{19}{10} t_{1} = 2,45$ $\frac{13}{40} t_{1} = 2,45$ $t_{1} = 2,45 : \frac{13}{40}$ $t_{1} = 7,6923$ (giờ) Quãng đường AB là: $7,6923 \times 45 = 346,1535$ (km) Đáp số: 346,1535 km Bài 6. a) Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC vuông tại A, ta có: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] \[ BC^2 = 6^2 + 8^2 \] \[ BC^2 = 36 + 64 \] \[ BC^2 = 100 \] \[ BC = 10 \text{ cm} \] b) Ta cần chứng minh rằng $\Delta ABC \backsim \Delta HAC$. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và đường cao hạ từ đỉnh vuông góc. - Trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH tạo ra hai tam giác nhỏ hơn là $\Delta HAC$ và $\Delta HAB$, cả hai đều có góc vuông tại H. - Ta thấy rằng $\angle BAC = \angle HAC$ (góc chung). - $\angle ABC = \angle HCA$ (cùng bù với góc $\angle HCB$). Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có $\Delta ABC \backsim \Delta HAC$. c) Trên cạnh AH lấy điểm M sao cho $AM = 3,2 \text{ cm}$, từ điểm M kẻ đường thẳng d song song với BC lần lượt cắt AB, AC tại E và F. Ta cần tính tỉ số diện tích $\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}$. - Vì d song song với BC, nên theo định lý Thales, ta có: \[ \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{AM}{AH} \] Ta biết rằng $AM = 3,2 \text{ cm}$ và $AH$ là đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC. Ta cần tính AH trước. Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC theo hai cách: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ cm}^2 \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 10 \times AH = 24 \text{ cm}^2 \] Từ đây, ta có: \[ 5 \times AH = 24 \] \[ AH = \frac{24}{5} = 4,8 \text{ cm} \] Bây giờ, ta tính tỉ số $\frac{AM}{AH}$: \[ \frac{AM}{AH} = \frac{3,2}{4,8} = \frac{2}{3} \] Theo định lý Thales, ta có: \[ \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{2}{3} \] Diện tích tam giác AEF sẽ là: \[ S_{AEF} = \left( \frac{AE}{AB} \right)^2 \times S_{ABC} = \left( \frac{2}{3} \right)^2 \times 24 = \frac{4}{9} \times 24 = \frac{96}{9} = \frac{32}{3} \text{ cm}^2 \] Tỉ số diện tích $\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}$ là: \[ \frac{S_{AEF}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{32}{3}}{24} = \frac{32}{3} \times \frac{1}{24} = \frac{32}{72} = \frac{4}{9} \] Đáp số: a) Độ dài cạnh BC là 10 cm. b) Chứng minh $\Delta ABC \backsim \Delta HAC$ đã được thực hiện. c) Tỉ số diện tích $\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}$ là $\frac{4}{9}$. Bài 7. Để tính tổng \( A = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + ... + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \), ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích từng phân số thành hiệu của hai phân số. Ta nhận thấy rằng mỗi phân số có dạng \(\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\). Ta sẽ tìm cách viết nó dưới dạng hiệu của hai phân số khác nhau. Xét phân số \(\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\): \[ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) \] Áp dụng công thức này cho từng phân số trong tổng \(A\): \[ A = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + ... + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \] \[ = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + ... + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \] Nhận thấy rằng đây là một dãy tổng có các phân số liên tiếp triệt tiêu lẫn nhau: \[ A = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + ... + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right) \] Các phân số giữa sẽ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại: \[ A = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2n+1} \right) \] \[ A = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) \] \[ A = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1 - 1}{2n+1} \right) \] \[ A = \frac{1}{2} \left( \frac{2n}{2n+1} \right) \] \[ A = \frac{n}{2n+1} \] Vậy, tổng \( A \) là: \[ A = \frac{n}{2n+1} \]