hhiihvvvhhj

Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. a) $\int^3_1 f'(x) dx = 4$ Trước tiên, ta cần biết rằng $f(x) = 4x + 3$. Do đó, $f'(x) = 4$. $\int^3_1 f'(x) dx = \int^3_1 4 dx = 4 \cdot (3 - 1) = 4 \cdot 2 = 8$ Vậy phát biểu a) là sai. b) $\int^2_{-2} f(x) dx = F(2) + F(-2)$ Ta biết rằng $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x) = 4x + 3$, do đó $F(x) = 2x^2 + 3x + C$ (với $C$ là hằng số). $\int^2_{-2} f(x) dx = F(2) - F(-2)$ $F(2) = 2(2)^2 + 3(2) + C = 8 + 6 + C = 14 + C$ $F(-2) = 2(-2)^2 + 3(-2) + C = 8 - 6 + C = 2 + C$ Do đó, $\int^2_{-2} f(x) dx = (14 + C) - (2 + C) = 12$ Phát biểu b) là sai vì nó viết là $F(2) + F(-2)$ thay vì $F(2) - F(-2)$. c) $\int^1_0 f(x) dx = \frac{1}{2}$ $\int^1_0 f(x) dx = \int^1_0 (4x + 3) dx = \left[ 2x^2 + 3x \right]^1_0 = (2(1)^2 + 3(1)) - (2(0)^2 + 3(0)) = 2 + 3 = 5$ Vậy phát biểu c) là sai. d) $F(x) = 4x + 3$ Như đã nói ở trên, $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x) = 4x + 3$, do đó $F(x) = 2x^2 + 3x + C$. Vậy phát biểu d) là sai. Kết luận: Tất cả các phát biểu đều sai. Câu 4. a) Ta có $f(x)=x^3$. Nguyên hàm của $f(x)$ là $F(x)=\frac{x^4}{4} + C$. Biết $F(2)=2$, ta thay vào để tìm $C$: $F(2)=\frac{2^4}{4} + C = 2$ $\Rightarrow 4 + C = 2$ $\Rightarrow C = -2$. Do đó, $F(x)=\frac{x^4}{4} - 2$. Tính $F(4)$: $F(4)=\frac{4^4}{4} - 2 = 64 - 2 = 62$. Vậy $F(4)=62$. Đáp án: SAI b) Ta có $f(x)=x^3$. Tích của $f(x)$ và $4x$ là $f(x) \cdot 4x = x^3 \cdot 4x = 4x^4$. Nguyên hàm của $4x^4$ là $\int 4x^4 dx = 4 \cdot \frac{x^5}{5} + C = \frac{4x^5}{5} + C$. Vậy $\int f(x) \cdot 4x dx = \frac{4x^5}{5} + C$. Đáp án: SAI c) Ta có $f(2x)=(2x)^3 = 8x^3$. Nguyên hàm của $8x^3$ là $\int 8x^3 dx = 8 \cdot \frac{x^4}{4} + C = 2x^4 + C$. Vậy $\int f(2x) dx = 2x^4 + C$. Đáp án: ĐÚNG d) Ta có $xf(x-2) = x \cdot (x-2)^3$. Phát triển $(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$. Do đó, $xf(x-2) = x \cdot (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 8x$. Nguyên hàm của $x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 8x$ là $\int (x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 8x) dx = \frac{x^5}{5} - \frac{6x^4}{4} + \frac{12x^3}{3} - \frac{8x^2}{2} + C = \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{2} + 4x^3 - 4x^2 + C$. Vậy $\int [xf(x-2)] dx = \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{2} + 4x^3 - 4x^2 + C$. Đáp án: SAI Câu 1. Để tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = 3x + x^2 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), và \( x = 3 \) quanh trục Ox, ta sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \( f(x) = 3x + x^2 \) - Giới hạn tích phân từ \( a = 0 \) đến \( b = 3 \) Bước 1: Tính \( [f(x)]^2 \): \[ [f(x)]^2 = (3x + x^2)^2 = 9x^2 + 6x^3 + x^4 \] Bước 2: Tính tích phân: \[ V = \pi \int_{0}^{3} (9x^2 + 6x^3 + x^4) \, dx \] Bước 3: Tính từng phần của tích phân: \[ \int_{0}^{3} 9x^2 \, dx = 9 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = 9 \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 9 \times 9 = 81 \] \[ \int_{0}^{3} 6x^3 \, dx = 6 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{3} = 6 \left( \frac{3^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) = 6 \times \frac{81}{4} = 121.5 \] \[ \int_{0}^{3} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{3} = \left( \frac{3^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = \frac{243}{5} = 48.6 \] Bước 4: Cộng các kết quả lại: \[ V = \pi (81 + 121.5 + 48.6) = \pi \times 251.1 \] Bước 5: Tính thể tích và làm tròn đến hàng đơn vị: \[ V \approx 3.14159 \times 251.1 \approx 788.7 \] Vậy thể tích khối tròn xoay là khoảng 789 đơn vị thể tích (làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 2. Trước hết, ta cần tìm vị trí của chất điểm A sau 15 giây (vì B xuất phát chậm hơn 3 giây so với A và B đuổi kịp A sau 12 giây kể từ khi B xuất phát). Vận tốc của A theo thời gian là: \[ v_A(t) = \frac{1}{150}t^2 + \frac{59}{75}t \] Quãng đường mà A đi được trong thời gian \( t \) là: \[ s_A(t) = \int_0^t v_A(t) \, dt = \int_0^t \left( \frac{1}{150}t^2 + \frac{59}{75}t \right) \, dt \] \[ s_A(t) = \left[ \frac{1}{450}t^3 + \frac{59}{150}t^2 \right]_0^t \] \[ s_A(t) = \frac{1}{450}t^3 + \frac{59}{150}t^2 \] Sau 15 giây, quãng đường mà A đã đi được là: \[ s_A(15) = \frac{1}{450}(15)^3 + \frac{59}{150}(15)^2 \] \[ s_A(15) = \frac{1}{450} \cdot 3375 + \frac{59}{150} \cdot 225 \] \[ s_A(15) = \frac{3375}{450} + \frac{13125}{150} \] \[ s_A(15) = 7.5 + 87.5 \] \[ s_A(15) = 95 \text{ m} \] Bên cạnh đó, chất điểm B xuất phát sau 3 giây và có gia tốc \( a \). Sau 12 giây kể từ khi B xuất phát, B sẽ đuổi kịp A. Vận tốc của B theo thời gian là: \[ v_B(t) = at \] Quãng đường mà B đi được trong thời gian \( t \) là: \[ s_B(t) = \int_0^t v_B(t) \, dt = \int_0^t at \, dt \] \[ s_B(t) = \left[ \frac{1}{2}at^2 \right]_0^t \] \[ s_B(t) = \frac{1}{2}at^2 \] Sau 12 giây, quãng đường mà B đã đi được là: \[ s_B(12) = \frac{1}{2}a(12)^2 \] \[ s_B(12) = 72a \] Vì B đuổi kịp A sau 12 giây, nên quãng đường mà B đi được bằng quãng đường mà A đã đi được sau 15 giây: \[ 72a = 95 \] \[ a = \frac{95}{72} \approx 1.3194 \text{ m/s}^2 \] Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là: \[ v_B(12) = a \cdot 12 \] \[ v_B(12) = \frac{95}{72} \cdot 12 \] \[ v_B(12) = \frac{95}{6} \] \[ v_B(12) \approx 15.8333 \text{ m/s} \] Đáp số: Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là $\frac{95}{6} \text{ m/s}$. Câu 3. Để tìm quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ta cần tính khoảng thời gian mà ô tô mất để dừng lại và sau đó tính quãng đường đã đi được trong khoảng thời gian đó. Bước 1: Xác định thời điểm ô tô dừng hẳn - Ô tô dừng hẳn khi vận tốc \( v(t) = 0 \). - Ta có phương trình: \[ -5t + 10 = 0 \] \[ -5t = -10 \] \[ t = 2 \text{ giây} \] Bước 2: Tính quãng đường ô tô di chuyển trong khoảng thời gian từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn - Quãng đường \( s \) được tính bằng tích của vận tốc trung bình và thời gian. - Vận tốc ban đầu \( v_0 = 10 \text{ m/s} \). - Vận tốc cuối cùng \( v_f = 0 \text{ m/s} \). - Thời gian \( t = 2 \text{ giây} \). Vận tốc trung bình: \[ v_{\text{trung bình}} = \frac{v_0 + v_f}{2} = \frac{10 + 0}{2} = 5 \text{ m/s} \] Quãng đường: \[ s = v_{\text{trung bình}} \times t = 5 \times 2 = 10 \text{ mét} \] Vậy, từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển 10 mét. Câu 4. Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^3 + 2x + 1 \), trục hoành, \( x = 1 \) và \( x = 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hàm số và khoảng tích phân: - Hàm số đã cho là \( f(x) = x^3 + 2x + 1 \). - Khoảng tích phân từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \). 2. Tính diện tích bằng cách sử dụng tích phân: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( f(x) \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = 1 \) và \( x = 2 \) được tính bằng công thức: \[ S = \int_{1}^{2} f(x) \, dx \] 3. Tính tích phân: Ta cần tính tích phân của hàm số \( f(x) = x^3 + 2x + 1 \) từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \): \[ S = \int_{1}^{2} (x^3 + 2x + 1) \, dx \] Tính tích phân từng phần: \[ \int (x^3 + 2x + 1) \, dx = \int x^3 \, dx + \int 2x \, dx + \int 1 \, dx \] \[ = \frac{x^4}{4} + x^2 + x + C \] Đánh giá tại các cận \( x = 1 \) và \( x = 2 \): \[ S = \left[ \frac{x^4}{4} + x^2 + x \right]_{1}^{2} \] \[ = \left( \frac{2^4}{4} + 2^2 + 2 \right) - \left( \frac{1^4}{4} + 1^2 + 1 \right) \] \[ = \left( \frac{16}{4} + 4 + 2 \right) - \left( \frac{1}{4} + 1 + 1 \right) \] \[ = (4 + 4 + 2) - \left( \frac{1}{4} + 2 \right) \] \[ = 10 - \left( \frac{1}{4} + 2 \right) \] \[ = 10 - \left( \frac{1}{4} + \frac{8}{4} \right) \] \[ = 10 - \frac{9}{4} \] \[ = \frac{40}{4} - \frac{9}{4} \] \[ = \frac{31}{4} \] 4. Kết luận: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^3 + 2x + 1 \), trục hoành, \( x = 1 \) và \( x = 2 \) là: \[ S = \frac{31}{4} \] Đáp số: \( S = \frac{31}{4} \). Câu 5. Để tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: Giả sử hình lập phương có cạnh dài \( a \). Ta chọn hệ tọa độ sao cho: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C(a, a, 0) 2. Tìm tọa độ của các vectơ: - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là: \[ \overrightarrow{AB} = (a - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (a, 0, 0) \] - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ có tọa độ là: \[ \overrightarrow{AC} = (a - 0, a - 0, 0 - 0) = (a, a, 0) \] 3. Tính tích vô hướng của hai vectơ: Tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a + 0 \cdot a + 0 \cdot 0 = a^2 \] 4. Tính độ dài của các vectơ: - Độ dài của $\overrightarrow{AB}$ là: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a \] - Độ dài của $\overrightarrow{AC}$ là: \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] 5. Áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ: Góc $\theta$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ được tính bằng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} \] Thay các giá trị đã tính vào công thức: \[ \cos \theta = \frac{a^2}{a \cdot a\sqrt{2}} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] 6. Tìm góc $\theta$: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ \] Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là \( 45^\circ \). Đáp số: \( 45^\circ \) Câu 6. Để tính $F(3)$, trước tiên chúng ta cần tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x^2 + 6x$. Bước 1: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$. \[ F(x) = \int (x^2 + 6x) \, dx \] Ta tính nguyên hàm từng phần: \[ F(x) = \int x^2 \, dx + \int 6x \, dx \] \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C \] \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 + C \] Bước 2: Xác định hằng số $C$ bằng cách sử dụng điều kiện $F(0) = 2$. \[ F(0) = \frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2 + C = 2 \] \[ C = 2 \] Vậy, nguyên hàm của $f(x)$ là: \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 2 \] Bước 3: Tính $F(3)$. \[ F(3) = \frac{3^3}{3} + 3 \cdot 3^2 + 2 \] \[ F(3) = \frac{27}{3} + 3 \cdot 9 + 2 \] \[ F(3) = 9 + 27 + 2 \] \[ F(3) = 38 \] Vậy, giá trị của $F(3)$ là $\boxed{38}$.