*Cho ,a b là các số nguyên thỏa mãn (7a+5 – 21b)(a+1-3b)chia hết cho 7 Chứng minh rằng: 11b 15 43a chia hết cho 7

Để chứng minh rằng \(11b + 15 - 43a\) chia hết cho 7, ta sẽ sử dụng các tính chất chia hết và các phép biến đổi đại số. Bước 1: Ta xét biểu thức \((7a + 5 - 21b)(a + 1 - 3b)\) chia hết cho 7. Ta thấy: \[ 7a + 5 - 21b = 7(a - 3b) + 5 \] \[ a + 1 - 3b \] Do đó, \((7a + 5 - 21b)(a + 1 - 3b)\) chia hết cho 7, suy ra \(7(a - 3b) + 5\) hoặc \(a + 1 - 3b\) phải chia hết cho 7. Bước 2: Ta xét trường hợp \(7(a - 3b) + 5\) chia hết cho 7. \[ 7(a - 3b) + 5 \equiv 0 \pmod{7} \] \[ 5 \equiv 0 \pmod{7} \] (không thể xảy ra) Vậy ta xét trường hợp \(a + 1 - 3b\) chia hết cho 7. \[ a + 1 - 3b \equiv 0 \pmod{7} \] \[ a \equiv 3b - 1 \pmod{7} \] Bước 3: Thay \(a \equiv 3b - 1 \pmod{7}\) vào biểu thức \(11b + 15 - 43a\): \[ 11b + 15 - 43(3b - 1) \] \[ = 11b + 15 - 129b + 43 \] \[ = 11b - 129b + 15 + 43 \] \[ = -118b + 58 \] Bước 4: Ta kiểm tra \( -118b + 58 \) chia hết cho 7. \[ -118b + 58 \equiv 0 \pmod{7} \] \[ -118 \equiv -118 + 7 \times 17 \equiv -118 + 119 \equiv 1 \pmod{7} \] \[ 58 \equiv 58 - 7 \times 8 \equiv 58 - 56 \equiv 2 \pmod{7} \] Vậy: \[ -118b + 58 \equiv 1b + 2 \equiv 0 \pmod{7} \] \[ b + 2 \equiv 0 \pmod{7} \] \[ b \equiv -2 \pmod{7} \] \[ b \equiv 5 \pmod{7} \] Bước 5: Thay \(b \equiv 5 \pmod{7}\) vào biểu thức \(11b + 15 - 43a\): \[ 11b + 15 - 43a \] \[ = 11(5) + 15 - 43(3(5) - 1) \] \[ = 55 + 15 - 43(15 - 1) \] \[ = 55 + 15 - 43 \times 14 \] \[ = 70 - 602 \] \[ = -532 \] Vậy: \[ -532 \equiv 0 \pmod{7} \] Do đó, \(11b + 15 - 43a\) chia hết cho 7. Đáp số: \(11b + 15 - 43a\) chia hết cho 7.