Giúppppppp

Câu 3: Để xác định điểm nào thuộc mặt phẳng $(P):~x-2y+z-5=0$, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình mặt phẳng và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không. A. Thay tọa độ điểm $P(0;0;-5)$ vào phương trình: \[ 0 - 2 \cdot 0 + (-5) - 5 = -10 \neq 0 \] Do đó, điểm $P$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. B. Thay tọa độ điểm $M(1;1;6)$ vào phương trình: \[ 1 - 2 \cdot 1 + 6 - 5 = 1 - 2 + 6 - 5 = 0 \] Do đó, điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$. C. Thay tọa độ điểm $Q(2;-1;5)$ vào phương trình: \[ 2 - 2 \cdot (-1) + 5 - 5 = 2 + 2 + 5 - 5 = 4 \neq 0 \] Do đó, điểm $Q$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. D. Thay tọa độ điểm $N(-5;0;0)$ vào phương trình: \[ -5 - 2 \cdot 0 + 0 - 5 = -5 - 5 = -10 \neq 0 \] Do đó, điểm $N$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. Kết luận: Điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ là $M(1;1;6)$. Đáp án đúng là: B. $M(1;1;6)$. Câu 4: Để tìm phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của đoạn thẳng AB: - Tọa độ của điểm A là (-1, 2, 0). - Tọa độ của điểm B là (3, 0, 2). Trung điểm M của đoạn thẳng AB: \[ M = \left( \frac{-1 + 3}{2}, \frac{2 + 0}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right) = (1, 1, 1) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực: - Vectơ AB là: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - (-1), 0 - 2, 2 - 0) = (4, -2, 2) \] - Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB sẽ có vectơ pháp tuyến là vectơ AB, tức là: \[ \vec{n} = (4, -2, 2) \] 3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực: - Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] - Trong đó, (a, b, c) là các thành phần của vectơ pháp tuyến và (x_0, y_0, z_0) là tọa độ của điểm trên mặt phẳng. Thay vào phương trình: \[ 4(x - 1) - 2(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \] 4. Rút gọn phương trình: \[ 4x - 4 - 2y + 2 + 2z - 2 = 0 \] \[ 4x - 2y + 2z - 4 = 0 \] Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ 2x - y + z - 2 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là: \[ 2x - y + z - 2 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~2x - y + z - 2 = 0 \] Câu 5: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( M(1;2;-3) \) và có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (1; -2; 3) \) có dạng: \[ 1(x - 1) - 2(y - 2) + 3(z + 3) = 0 \] Ta sẽ mở rộng và đơn giản hóa phương trình này: \[ x - 1 - 2y + 4 + 3z + 9 = 0 \] \[ x - 2y + 3z + 12 = 0 \] Do đó, phương trình mặt phẳng đúng là: \[ A.~x - 2y + 3z + 12 = 0 \] Đáp án đúng là: \( A.~x - 2y + 3z + 12 = 0 \) Câu 6: Để viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng AB, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): - Vectơ AB có tọa độ là: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 5, 2 + 4, 3 - 2) = (-4, 6, 1) \] - Vì mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng AB, nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) chính là vectơ AB. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (-4, 6, 1)$. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P): - Phương trình mặt phẳng có dạng: $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $(a, b, c)$ là tọa độ của vectơ pháp tuyến và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm thuộc mặt phẳng. - Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(5, -4, 2) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (-4, 6, 1)$, nên phương trình mặt phẳng (P) là: \[ -4(x - 5) + 6(y + 4) + 1(z - 2) = 0 \] - Rút gọn phương trình: \[ -4x + 20 + 6y + 24 + z - 2 = 0 \] \[ -4x + 6y + z + 42 = 0 \] \[ 4x - 6y - z - 42 = 0 \] 3. Kiểm tra lại đáp án: - Ta thấy rằng phương trình $4x - 6y - z - 42 = 0$ không nằm trong các lựa chọn đã cho. Do đó, ta cần kiểm tra lại các phương án đã cho để tìm phương trình đúng. - Kiểm tra phương án A: $2x - 3y - z - 20 = 0$ - Thay tọa độ điểm A(5, -4, 2) vào phương trình: \[ 2(5) - 3(-4) - 2 - 20 = 10 + 12 - 2 - 20 = 0 \] - Phương trình đúng, do đó phương án A là phương trình của mặt phẳng (P). Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là: \[ \boxed{2x - 3y - z - 20 = 0} \] Câu 7: Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(-1;1;1) \) và vuông góc với đường thẳng \( BC \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Vectơ \( \overrightarrow{BC} \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \( BC \). - Tọa độ của \( \overrightarrow{BC} \) là: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (1 - 2, -1 - 1, 2 - 0) = (-1, -2, 2) \] - Vì mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \( BC \), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chính là \( \overrightarrow{BC} \). 2. Lập phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \), trong đó \( (a, b, c) \) là tọa độ của vectơ pháp tuyến. - Ta có \( a = -1 \), \( b = -2 \), \( c = 2 \). - Mặt phẳng đi qua điểm \( A(-1;1;1) \), thay vào phương trình mặt phẳng để tìm \( d \): \[ -1(-1) + (-2)(1) + 2(1) + d = 0 \] \[ 1 - 2 + 2 + d = 0 \] \[ 1 + d = 0 \] \[ d = -1 \] 3. Viết phương trình mặt phẳng: - Thay \( a, b, c, d \) vào phương trình mặt phẳng: \[ -x - 2y + 2z - 1 = 0 \] - Nhân cả phương trình với \(-1\) để đơn giản hóa: \[ x + 2y - 2z + 1 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(-1;1;1) \) và vuông góc với đường thẳng \( BC \) là: \[ \boxed{x + 2y - 2z + 1 = 0} \] Đáp án đúng là: \( B.~x + 2y - 2z + 1 = 0 \). Câu 8: Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm \( M(2; -1; 4) \) và song song với mặt phẳng \( (P): 3x - 2y + z + 1 = 0 \) sẽ có dạng: \[ 3x - 2y + z + d = 0 \] Để xác định giá trị của \( d \), ta thay tọa độ của điểm \( M \) vào phương trình trên: \[ 3(2) - 2(-1) + 4 + d = 0 \] \[ 6 + 2 + 4 + d = 0 \] \[ 12 + d = 0 \] \[ d = -12 \] Vậy phương trình của mặt phẳng đi qua \( M \) và song song với mặt phẳng \( (P) \) là: \[ 3x - 2y + z - 12 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~3x - 2y + z - 12 = 0 \] Câu 9: Để tính khoảng cách từ điểm \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): x + 2y + 2z - 10 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó: - \( (x_0, y_0, z_0) = (1, 2, -3) \) - \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = 2 \), \( d = -10 \) Thay các giá trị vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) - 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|1 + 4 - 6 - 10|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \] \[ d = \frac{|-11|}{\sqrt{9}} \] \[ d = \frac{11}{3} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): x + 2y + 2z - 10 = 0 \) là \( \frac{11}{3} \). Đáp án đúng là: \( A. \frac{11}{3} \). Câu 10: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình \( ax + by + cz - 9 = 0 \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec{n}_P = (a, b, c)\). 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) có phương trình \( 3x + y + z + 4 = 0 \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec{n}_Q = (3, 1, 1)\). 3. Áp dụng điều kiện vuông góc: Vì mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q), nên vectơ pháp tuyến của (P) phải vuông góc với vectơ pháp tuyến của (Q). Điều này có nghĩa là tích vô hướng của hai vectơ này phải bằng 0: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 0 \] Thay vào, ta có: \[ a \cdot 3 + b \cdot 1 + c \cdot 1 = 0 \implies 3a + b + c = 0 \] 4. Áp dụng điều kiện mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A và B: Mặt phẳng (P) đi qua điểm \( A(3, 2, 1) \): \[ a \cdot 3 + b \cdot 2 + c \cdot 1 - 9 = 0 \implies 3a + 2b + c = 9 \] Mặt phẳng (P) đi qua điểm \( B(-3, 5, 2) \): \[ a \cdot (-3) + b \cdot 5 + c \cdot 2 - 9 = 0 \implies -3a + 5b + 2c = 9 \] 5. Lập hệ phương trình: Ta có hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} 3a + b + c = 0 \\ 3a + 2b + c = 9 \\ -3a + 5b + 2c = 9 \end{cases} \] 6. Giải hệ phương trình: Từ phương trình thứ nhất, ta có: \[ c = -3a - b \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 3a + 2b + (-3a - b) = 9 \implies b = 9 \] Thay \( b = 9 \) vào phương trình thứ nhất: \[ 3a + 9 + c = 0 \implies c = -3a - 9 \] Thay \( b = 9 \) và \( c = -3a - 9 \) vào phương trình thứ ba: \[ -3a + 5 \cdot 9 + 2(-3a - 9) = 9 \implies -3a + 45 - 6a - 18 = 9 \implies -9a + 27 = 9 \implies -9a = -18 \implies a = 2 \] Thay \( a = 2 \) vào \( c = -3a - 9 \): \[ c = -3 \cdot 2 - 9 = -6 - 9 = -15 \] 7. Tính tổng \( S = a + b + c \): \[ S = 2 + 9 - 15 = -4 \] Vậy đáp án đúng là \( C.~S = -4 \). Câu 11: Để tìm tọa độ của điểm \( M \) thuộc trục \( Oy \) và cách đều hai mặt phẳng \( (P): x + y - z + 1 = 0 \) và \( (Q): x - y + z - 5 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm \( M \): Vì điểm \( M \) thuộc trục \( Oy \), nên tọa độ của nó có dạng \( M(0, y, 0) \). 2. Tính khoảng cách từ điểm \( M \) đến mặt phẳng \( (P) \): Khoảng cách từ điểm \( M(0, y, 0) \) đến mặt phẳng \( (P): x + y - z + 1 = 0 \) được tính bằng công thức: \[ d(M, (P)) = \frac{|0 + y - 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|y + 1|}{\sqrt{3}} \] 3. Tính khoảng cách từ điểm \( M \) đến mặt phẳng \( (Q) \): Khoảng cách từ điểm \( M(0, y, 0) \) đến mặt phẳng \( (Q): x - y + z - 5 = 0 \) được tính bằng công thức: \[ d(M, (Q)) = \frac{|0 - y + 0 - 5|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|-y - 5|}{\sqrt{3}} = \frac{|y + 5|}{\sqrt{3}} \] 4. Điều kiện để điểm \( M \) cách đều hai mặt phẳng: Để điểm \( M \) cách đều hai mặt phẳng \( (P) \) và \( (Q) \), ta có: \[ \frac{|y + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{|y + 5|}{\sqrt{3}} \] Điều này suy ra: \[ |y + 1| = |y + 5| \] 5. Giải phương trình giá trị tuyệt đối: Phương trình \( |y + 1| = |y + 5| \) có hai trường hợp: - Trường hợp 1: \( y + 1 = y + 5 \) Điều này vô lý vì \( 1 \neq 5 \). - Trường hợp 2: \( y + 1 = -(y + 5) \) Điều này suy ra: \[ y + 1 = -y - 5 \\ 2y = -6 \\ y = -3 \] 6. Kết luận: Tọa độ của điểm \( M \) là \( M(0, -3, 0) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~M(0;-3;0). \] Câu 12: Để lập phương trình các mặt phẳng song song với mặt phẳng $(\beta):~x+y-z+3=0$ và cách $(\beta)$ một khoảng bằng $\sqrt{3}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\beta)$: Mặt phẳng $(\beta)$ có phương trình $x + y - z + 3 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n} = (1, 1, -1)$. 2. Phương trình tổng quát của các mặt phẳng song song với $(\beta)$: Các mặt phẳng song song với $(\beta)$ sẽ có cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1, 1, -1)$. Do đó, phương trình tổng quát của các mặt phẳng song song với $(\beta)$ có dạng: \[ x + y - z + d = 0 \] trong đó $d$ là tham số cần tìm. 3. Tính khoảng cách từ điểm trên mặt phẳng $(\beta)$ đến các mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó, $(a, b, c)$ là các hệ số của $x$, $y$, $z$ trong phương trình mặt phẳng, và $d_1$, $d_2$ là các hằng số tự do của hai mặt phẳng. Mặt phẳng $(\beta)$ có $d_1 = 3$. Mặt phẳng song song có $d_2 = d$. Khoảng cách giữa chúng là $\sqrt{3}$, nên ta có: \[ \sqrt{3} = \frac{|d - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|d - 3|}{\sqrt{3}} \] 4. Giải phương trình để tìm $d$: Nhân cả hai vế với $\sqrt{3}$: \[ 3 = |d - 3| \] Điều này dẫn đến hai trường hợp: \[ d - 3 = 3 \quad \text{hoặc} \quad d - 3 = -3 \] Giải các phương trình này: \[ d = 6 \quad \text{hoặc} \quad d = 0 \] 5. Lập phương trình các mặt phẳng: Thay các giá trị của $d$ vào phương trình tổng quát: \[ x + y - z + 6 = 0 \quad \text{và} \quad x + y - z = 0 \] Vậy phương trình các mặt phẳng song song với mặt phẳng $(\beta)$ và cách $(\beta)$ một khoảng bằng $\sqrt{3}$ là: \[ x + y - z + 6 = 0 \quad \text{và} \quad x + y - z = 0 \] Đáp án đúng là: $A.~x+y-z+6=0;~x+y-z=0.$