Hsjshshsbdbdhd Câu 3.Rút gọn biểu thức $A=\frac1{x+4}+\frac x{x-4}+\frac{3x+20}{x^2-16}$ với $x
e\pm4$,Câu 4. Cho biểu thức:,$A=\frac{x-x}{x^2-4}+\frac1{x+2}.\frac2{x-2\delta}.\frac{x-8}{x+2\delta}.\frac{x-8}{x+2\delta}.x+x^2=2.$,a) Rút gọn biểu thức A.,b) Tính giá trị của biểu thức A tại $x=4.$,Câu 5. Giải phương trình sau: $a)~\frac34+\frac14x=0$ $b)~\frac35.\frac25x=0$,Câu 6. Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao $MH~(H\in BC)$,a) Chứng minh: $\Delta HNM\backsim\Delta MNP\bot$,b) Chứng minh: $MH^2=HN,HP$,c) Chứng minh: $\frac1{MH^2}=\frac1{MP^2}+\frac1{MN^2}$,Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB=6~cm$ và $AC=8~cm.$ Kẻ đường cao AH.,a) Chứng minh D ABCcD HBAl,b) Tính độ dài các cạnh BC và AH. b,c) Tia phân giác của góc $L-ACB$ cắt AH tại E, cắt AB tại D. Tính tỉ số điện tích của D ACD,và D HCE.,Câu 8 Cho số thực x khác 0 thoả mãn $\frac x{x^2-x+1}=\frac1{2024}.$,Tính giá trị biểu thức $M=\frac{x^2}{x^2+x^2+1}.$,Câu 9. Tìm x, biết: $\frac{x+14}{86}+\frac{x+15}{85}+\frac{x+16}{84}+\frac{x+17}{83}+\frac{x+116}40$

Question

Hsjshshsbdbdhd Câu 3.Rút gọn biểu thức $A=\frac1{x+4}+\frac x{x-4}+\frac{3x+20}{x^2-16}$ với $x
e\pm4$,Câu 4. Cho biểu thức:,$A=\frac{x-x}{x^2-4}+\frac1{x+2}.\frac2{x-2\delta}.\frac{x-8}{x+2\delta}.\frac{x-8}{x+2\delta}.x+x^2=2.$,a) Rút gọn biểu thức A.,b) Tính giá trị của biểu thức A tại $x=4.$,Câu 5. Giải phương trình sau: $a)~\frac34+\frac14x=0$ $b)~\frac35.\frac25x=0$,Câu 6. Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao $MH~(H\in BC)$,a) Chứng minh: $\Delta HNM\backsim\Delta MNP\bot$,b) Chứng minh: $MH^2=HN,HP$,c) Chứng minh: $\frac1{MH^2}=\frac1{MP^2}+\frac1{MN^2}$,Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB=6~cm$ và $AC=8~cm.$ Kẻ đường cao AH.,a) Chứng minh D ABCc>D HBAl,b) Tính độ dài các cạnh BC và AH. b,c) Tia phân giác của góc $L-ACB$ cắt AH tại E, cắt AB tại D. Tính tỉ số điện tích của D ACD,và D HCE.,Câu 8 Cho số thực x khác 0 thoả mãn $\frac x{x^2-x+1}=\frac1{2024}.$,Tính giá trị biểu thức $M=\frac{x^2}{x^2+x^2+1}.$,Câu 9. Tìm x, biết: $\frac{x+14}{86}+\frac{x+15}{85}+\frac{x+16}{84}+\frac{x+17}{83}+\frac{x+116}4>0$

Accepted Answer

Câu 3.
Để rút gọn biểu thức $A=\frac{1}{x+4}+\frac{x}{x-4}+\frac{3x+20}{x^2-16}$ với $x \neq \pm 4$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Biểu thức có chứa các phân thức $\frac{1}{x+4}$, $\frac{x}{x-4}$ và $\frac{3x+20}{x^2-16}$.
- Điều kiện xác định là $x \neq \pm 4$ để tránh mẫu số bằng 0.

Bước 2: Rút gọn biểu thức:
- Ta nhận thấy rằng $x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$, do đó ta có thể viết lại biểu thức như sau:
$$ A = \frac{1}{x+4} + \frac{x}{x-4} + \frac{3x+20}{(x+4)(x-4)} $$

Bước 3: Quy đồng mẫu số:
- Mẫu số chung của các phân thức là $(x+4)(x-4)$.
- Ta quy đồng các phân thức:
$$ A = \frac{(x-4)}{(x+4)(x-4)} + \frac{x(x+4)}{(x+4)(x-4)} + \frac{3x+20}{(x+4)(x-4)} $$

Bước 4: Cộng các phân thức đã quy đồng:
$$ A = \frac{(x-4) + x(x+4) + (3x+20)}{(x+4)(x-4)} $$
$$ A = \frac{x - 4 + x^2 + 4x + 3x + 20}{(x+4)(x-4)} $$
$$ A = \frac{x^2 + 8x + 16}{(x+4)(x-4)} $$

Bước 5: Rút gọn phân thức:
- Ta nhận thấy rằng $x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$.
- Do đó:
$$ A = \frac{(x + 4)^2}{(x+4)(x-4)} $$
$$ A = \frac{x + 4}{x - 4} $$

Vậy biểu thức đã được rút gọn là:
$$ A = \frac{x + 4}{x - 4} $$

Đáp số: $A = \frac{x + 4}{x - 4}$

Câu 4.
a) Rút gọn biểu thức A:

Điều kiện xác định: $x \neq \pm 2$ và $x \neq \pm 2\delta$

$A = \frac{x - x}{x^2 - 4} + \frac{1}{x + 2} \cdot \frac{2}{x - 2\delta} \cdot \frac{x - 8}{x + 2\delta} \cdot \frac{x - 8}{x + 2\delta} \cdot x + x^2 = 2$

$A = \frac{0}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{1}{x + 2} \cdot \frac{2}{x - 2\delta} \cdot \frac{(x - 8)^2}{(x + 2\delta)^2} \cdot x + x^2 = 2$

$A = 0 + \frac{2(x - 8)^2}{(x + 2)(x - 2\delta)(x + 2\delta)^2} \cdot x + x^2 = 2$

$A = \frac{2(x - 8)^2 \cdot x}{(x + 2)(x - 2\delta)(x + 2\delta)^2} + x^2 = 2$

b) Tính giá trị của biểu thức A tại $x = 4$:

Thay $x = 4$ vào biểu thức đã rút gọn:

$A = \frac{2(4 - 8)^2 \cdot 4}{(4 + 2)(4 - 2\delta)(4 + 2\delta)^2} + 4^2 = 2$

$A = \frac{2(-4)^2 \cdot 4}{6(4 - 2\delta)(4 + 2\delta)^2} + 16 = 2$

$A = \frac{2 \cdot 16 \cdot 4}{6(4 - 2\delta)(4 + 2\delta)^2} + 16 = 2$

$A = \frac{128}{6(4 - 2\delta)(4 + 2\delta)^2} + 16 = 2$

$A = \frac{64}{3(4 - 2\delta)(4 + 2\delta)^2} + 16 = 2$

Vậy giá trị của biểu thức A tại $x = 4$ là $\frac{64}{3(4 - 2\delta)(4 + 2\delta)^2} + 16 = 2$.

Câu 5.
a) $\frac{3}{4} + \frac{1}{4}x = 0$

- Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu số:
$$ 4 \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4}x \right) = 4 \cdot 0 $$
$$ 3 + x = 0 $$

- Giải phương trình bậc nhất:
$$ x = -3 $$

Vậy nghiệm của phương trình là $ x = -3 $.

b) $\frac{3}{5} - \frac{2}{5}x = 0$

- Nhân cả hai vế với 5 để loại bỏ mẫu số:
$$ 5 \left( \frac{3}{5} - \frac{2}{5}x \right) = 5 \cdot 0 $$
$$ 3 - 2x = 0 $$

- Giải phương trình bậc nhất:
$$ 3 = 2x $$
$$ x = \frac{3}{2} $$

Vậy nghiệm của phương trình là $ x = \frac{3}{2} $.

Câu 6.
a) Ta có $\widehat{MHN}=\widehat{MNP}=90^\circ$ (vì MH vuông góc NP)
$\widehat{NHM}=\widehat{PMN}$ (góc chung)
Do đó $\Delta HNM\backsim\Delta MNP$ (g-g)
b) Vì $\Delta HNM\backsim\Delta MNP$ nên ta có:
$\frac{MH}{MP}=\frac{HN}{MH}$
Suy ra $MH^2=HN,HP$
c) Ta có $MH^2=HN,HP$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \frac{MH^2}{MP^2}=\frac{HN}{MP}\times \frac{HP}{MP}$ (1)
Ta lại có $\Delta HNM\backsim\Delta MNP$ nên $\frac{HN}{MP}=\frac{MN}{NP}$ (2)
Từ (1) và (2) ta có:
$\frac{MH^2}{MP^2}=\frac{MN}{NP}\times \frac{HP}{MP}$
$=\frac{MN}{NP}\times \frac{NP-MN}{MP}$
$=\frac{MN\times NP-MN^2}{NP\times MP}$
$=\frac{MN}{MP}-\frac{MN^2}{NP\times MP}$
$=\frac{MN}{MP}\times \frac{MP}{NP}-\frac{MN^2}{NP\times MP}$
$=\frac{MN}{NP}\times (\frac{MP}{NP}-\frac{MN}{NP})$
$=\frac{MN}{NP}\times \frac{MP-MN}{NP}$
$=\frac{MN}{NP}\times \frac{HN}{NP}$
$=\frac{MN}{NP}\times \frac{MN}{NP}$
$=(\frac{MN}{NP})^2$
$=\frac{MN^2}{NP^2}$
$\Rightarrow \frac{1}{MH^2}=\frac{NP^2}{MN^2\times MP^2}$
$=\frac{(MN^2+MP^2)}{MN^2\times MP^2}$
$=\frac{MN^2}{MN^2\times MP^2}+\frac{MP^2}{MN^2\times MP^2}$
$=\frac{1}{MP^2}+\frac{1}{MN^2}$

Bài 7
a) Ta có $\angle BAC = \angle BHA = 90^\circ$. 
$\angle ABC$ chung. 
Do đó $\Delta ABC \backsim \Delta HBA$ (g-g)
b) Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC, ta có:
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$
$$BC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$$

Áp dụng tính chất của tam giác vuông có đường cao hạ từ đỉnh vuông góc, ta có:
$$AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{6 \times 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}$$

c) Vì tia phân giác của góc ACB cắt AH tại E và cắt AB tại D, nên theo tính chất tia phân giác của tam giác, ta có:
$$\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$

Tỉ số diện tích của tam giác ACD và tam giác HCE là:
$$\frac{S_{ACD}}{S_{HCE}} = \frac{\frac{1}{2} \times AC \times AD}{\frac{1}{2} \times HC \times CE} = \frac{AC \times AD}{HC \times CE}$$

Vì tia phân giác của góc ACB chia cạnh AB thành hai đoạn tỷ lệ với hai cạnh còn lại của tam giác ABC, nên:
$$\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB} = \frac{4}{5}$$

Do đó:
$$\frac{S_{ACD}}{S_{HCE}} = \frac{AC \times AD}{HC \times CE} = \frac{8 \times AD}{HC \times CE} = \frac{8 \times \frac{4}{9}AB}{HC \times CE} = \frac{8 \times \frac{4}{9} \times 6}{HC \times CE} = \frac{8 \times \frac{24}{9}}{HC \times CE} = \frac{8 \times \frac{8}{3}}{HC \times CE} = \frac{64}{3 \times HC \times CE}$$

Vậy tỉ số diện tích của tam giác ACD và tam giác HCE là:
$$\frac{S_{ACD}}{S_{HCE}} = \frac{64}{3 \times HC \times CE}$$

Đáp số:
a) Chứng minh $\Delta ABC \backsim \Delta HBA$
b) $BC = 10 \text{ cm}$, $AH = 4.8 \text{ cm}$
c) Tỉ số diện tích của tam giác ACD và tam giác HCE là $\frac{64}{3 \times HC \times CE}$

Câu 8
Ta có $\frac x{x^2-x+1}=\frac1{2024}$

$\frac{x^2-x+1}{x}=2024$

$x-1+\frac1{x}=2024$

$x+\frac1{x}=2025$

$M=\frac{x^2}{x^2+x^2+1}=\frac{1}{2+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{2+(\frac{1}{x})^2}$

$=(x+\frac{1}{x})^2-2=2025^2-2=4100623$

Câu 9.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phân số và tìm hiểu xem giá trị của $ x $ cần thỏa mãn điều kiện gì để tổng của các phân số này lớn hơn 0.

Bước 1: Xét từng phân số:
- $\frac{x+14}{86}$
- $\frac{x+15}{85}$
- $\frac{x+16}{84}$
- $\frac{x+17}{83}$
- $\frac{x+116}{4}$

Bước 2: Nhận thấy rằng tất cả các mẫu số đều dương, do đó để tổng của các phân số này lớn hơn 0, tổng của các tử số cũng phải lớn hơn 0.

Bước 3: Viết tổng của các tử số:
$$ (x + 14) + (x + 15) + (x + 16) + (x + 17) + (x + 116) $$

Bước 4: Cộng các tử số lại:
$$ x + 14 + x + 15 + x + 16 + x + 17 + x + 116 $$
$$ = 5x + (14 + 15 + 16 + 17 + 116) $$
$$ = 5x + 188 $$

Bước 5: Để tổng của các phân số lớn hơn 0, ta cần:
$$ 5x + 188 > 0 $$

Bước 6: Giải bất phương trình:
$$ 5x > -188 $$
$$ x > -\frac{188}{5} $$
$$ x > -37.6 $$

Vậy, giá trị của $ x $ cần thỏa mãn điều kiện $ x > -37.6 $.

Đáp số: $ x > -37.6 $