Giải chính xáccccc

Câu 1. Để tính độ dài đoạn thẳng AB trong không gian Oxyz, ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \): \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng vào các tọa độ của điểm \( A(2, 7, -1) \) và \( B(4, 6, 1) \): 1. Tính hiệu các tọa độ: \[ x_2 - x_1 = 4 - 2 = 2 \] \[ y_2 - y_1 = 6 - 7 = -1 \] \[ z_2 - z_1 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \] 2. Tính bình phương các hiệu này: \[ (x_2 - x_1)^2 = 2^2 = 4 \] \[ (y_2 - y_1)^2 = (-1)^2 = 1 \] \[ (z_2 - z_1)^2 = 2^2 = 4 \] 3. Cộng các bình phương lại: \[ (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 = 4 + 1 + 4 = 9 \] 4. Tính căn bậc hai của tổng này để tìm độ dài đoạn thẳng AB: \[ AB = \sqrt{9} = 3 \] Vậy độ dài đoạn thẳng AB là 3. Câu 2. Để tính khoảng cách từ điểm \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): 2x - y + 2z - 13 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách \( d \) từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó: - \( (x_0, y_0, z_0) = (1, 2, -3) \) - \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = 2 \), \( d = -13 \) Thay các giá trị vào công thức: \[ d = \frac{|2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot (-3) - 13|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|2 - 2 - 6 - 13|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \] \[ d = \frac{|-19|}{\sqrt{9}} \] \[ d = \frac{19}{3} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): 2x - y + 2z - 13 = 0 \) là: \[ d = \frac{19}{3} \] Câu 3. Để tìm góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $d$, ta cần xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng. Đường thẳng $\Delta$ có phương trình: \[ \frac{x-2}{\sqrt{2}} = \frac{y}{\sqrt{2}} = \frac{z+1}{2} \] Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u} = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2)$. Đường thẳng $d$ có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt{2}t \\ y = 3 + \sqrt{2}t \\ z = 2t \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{v} = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2)$. Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng. Ta tính cosin của góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{v}$ bằng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \] Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = (\sqrt{2})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})(\sqrt{2}) + (2)(2) = 2 + 2 + 4 = 8 \] Tính độ dài của $\vec{u}$ và $\vec{v}$: \[ |\vec{u}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{2 + 2 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] \[ |\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{2 + 2 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Thay vào công thức cosin: \[ \cos \theta = \frac{8}{(2\sqrt{2})(2\sqrt{2})} = \frac{8}{8} = 1 \] Vậy $\cos \theta = 1$, suy ra $\theta = 0^\circ$. Đáp số: Góc giữa hai đường thẳng là $0^\circ$. Câu 4. Để kiểm tra xem các điểm A, B, C, D có thuộc đường thẳng $\Delta$ hay không, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ và kiểm tra xem có tồn tại giá trị của tham số $t$ thỏa mãn hay không. 1. Kiểm tra điểm $A(1; -2; 3)$: Thay vào phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} 1 = 1 + 2t \\ -2 = -2 - 2t \\ 3 = 3 - t \end{array} \right. \] Ta thấy rằng tất cả các phương trình đều đúng khi $t = 0$. Do đó, điểm $A$ thuộc đường thẳng $\Delta$. 2. Kiểm tra điểm $B(3; -4; 3)$: Thay vào phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3 = 1 + 2t \\ -4 = -2 - 2t \\ 3 = 3 - t \end{array} \right. \] Giải phương trình đầu tiên: \[ 3 = 1 + 2t \implies 2t = 2 \implies t = 1 \] Thay $t = 1$ vào hai phương trình còn lại: \[ -4 = -2 - 2(1) \implies -4 = -4 \quad (\text{đúng}) \] \[ 3 = 3 - 1 \implies 3 = 2 \quad (\text{sai}) \] Do đó, điểm $B$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. 3. Kiểm tra điểm $C(5; -6; -1)$: Thay vào phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} 5 = 1 + 2t \\ -6 = -2 - 2t \\ -1 = 3 - t \end{array} \right. \] Giải phương trình đầu tiên: \[ 5 = 1 + 2t \implies 2t = 4 \implies t = 2 \] Thay $t = 2$ vào hai phương trình còn lại: \[ -6 = -2 - 2(2) \implies -6 = -6 \quad (\text{đúng}) \] \[ -1 = 3 - 2 \implies -1 = 1 \quad (\text{sai}) \] Do đó, điểm $C$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. 4. Kiểm tra điểm $D(-3; 2; 2)$: Thay vào phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} -3 = 1 + 2t \\ 2 = -2 - 2t \\ 2 = 3 - t \end{array} \right. \] Giải phương trình đầu tiên: \[ -3 = 1 + 2t \implies 2t = -4 \implies t = -2 \] Thay $t = -2$ vào hai phương trình còn lại: \[ 2 = -2 - 2(-2) \implies 2 = 2 \quad (\text{đúng}) \] \[ 2 = 3 - (-2) \implies 2 = 5 \quad (\text{sai}) \] Do đó, điểm $D$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. Kết luận: Chỉ có điểm $A$ thuộc đường thẳng $\Delta$. Câu 5. Đầu tiên, ta xác định phương trình của đường thẳng AB, đại diện cho quỹ đạo hạ cánh của máy bay. Phương trình tham số của đường thẳng AB: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 \\ y = -3 + t \cdot 13 \\ z = 1 - t \end{array} \right. \] Trong đó, \(t\) là tham số. Mặt dưới của lớp mây nằm ở \(z = 0.4\). Ta tìm điểm giao của đường thẳng AB với mặt dưới của lớp mây: \[ 1 - t = 0.4 \implies t = 0.6 \] Thay \(t = 0.6\) vào phương trình tham số của đường thẳng AB để tìm tọa độ giao điểm: \[ A' = (3, -3 + 0.6 \cdot 13, 0.4) = (3, 4.8, 0.4) \] Mặt trên của lớp mây nằm ở \(z = 0.8\). Ta tìm điểm giao của đường thẳng AB với mặt trên của lớp mây: \[ 1 - t = 0.8 \implies t = 0.2 \] Thay \(t = 0.2\) vào phương trình tham số của đường thẳng AB để tìm tọa độ giao điểm: \[ B' = (3, -3 + 0.2 \cdot 13, 0.8) = (3, 0.6, 0.8) \] Tiếp theo, ta tính khoảng cách giữa hai điểm giao này: \[ d(A', B') = \sqrt{(3-3)^2 + (4.8-0.6)^2 + (0.4-0.8)^2} = \sqrt{0 + 4.2^2 + (-0.4)^2} = \sqrt{17.64 + 0.16} = \sqrt{17.8} \approx 4.22 \text{ km} \] Cuối cùng, ta tính thời gian máy bay ở trong mây: \[ v = 300 \text{ km/h} = 300 \times \frac{1000}{3600} \text{ m/s} = 83.33 \text{ m/s} \] Thời gian máy bay ở trong mây: \[ t = \frac{4.22 \text{ km}}{83.33 \text{ m/s}} = \frac{4220 \text{ m}}{83.33 \text{ m/s}} \approx 50.64 \text{ s} \] Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị: \[ t \approx 51 \text{ s} \] Đáp số: 51 giây. Câu 6. Để tính thể tích của khúc gỗ đã xẻ bỏ một phần, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích toàn bộ đáy của hình trụ ban đầu. 2. Tính diện tích của phần đã bị xẻ bỏ. 3. Tính diện tích còn lại của đáy. 4. Tính thể tích của khúc gỗ còn lại. Bước 1: Tính diện tích toàn bộ đáy của hình trụ ban đầu Diện tích toàn bộ đáy của hình trụ ban đầu là: \[ S_{\text{đáy}} = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 = \pi \left( \frac{80}{2} \right)^2 = \pi \times 40^2 = 1600\pi \, \text{cm}^2 \] Bước 2: Tính diện tích của phần đã bị xẻ bỏ Phần đã bị xẻ bỏ là một hình tam giác với đáy là đường kính của hình trụ và chiều cao là chiều cao của phần đã bị xẻ bỏ. Diện tích của phần đã bị xẻ bỏ là: \[ S_{\text{xẻ bỏ}} = \frac{1}{2} \times d \times MH = \frac{1}{2} \times 80 \times 60 = 2400 \, \text{cm}^2 \] Bước 3: Tính diện tích còn lại của đáy Diện tích còn lại của đáy là: \[ S_{\text{còn lại}} = S_{\text{đáy}} - S_{\text{xẻ bỏ}} = 1600\pi - 2400 \, \text{cm}^2 \] Bước 4: Tính thể tích của khúc gỗ còn lại Thể tích của khúc gỗ còn lại là: \[ V = S_{\text{còn lại}} \times AB = (1600\pi - 2400) \times 300 \, \text{cm}^3 \] Chuyển đổi đơn vị từ cm³ sang m³: \[ V = (1600\pi - 2400) \times 300 \times 10^{-6} \, \text{m}^3 \] \[ V = (1600\pi - 2400) \times 0.0003 \, \text{m}^3 \] \[ V = (1600 \times 3.1416 - 2400) \times 0.0003 \, \text{m}^3 \] \[ V = (5026.56 - 2400) \times 0.0003 \, \text{m}^3 \] \[ V = 2626.56 \times 0.0003 \, \text{m}^3 \] \[ V \approx 0.788 \, \text{m}^3 \] Vậy thể tích của khúc gỗ còn lại là khoảng 0.788 m³, làm tròn đến hàng phần mười là 0.8 m³. Đáp số: 0.8 m³