Cho ∆ABC vuông tại A có AB=9cm;BC=15cm,kẻ đường cao AH và phân giác AK;H,K thuộc BC a)CM:∆HBA~∆ABC b)Tính độ dài đoạn thẳng AH c)Tính tỉ số diện tích ∆ABK và ∆AKC

a)
Tam giác ABC có đường cao AH ⟹ AH$\displaystyle \bot $BC ⟹ $\displaystyle \widehat{AHB} =\widehat{AHC} =90^{0}$
Xét $\displaystyle \triangle HBA$ và $\displaystyle \triangle ABC$, có:
$\displaystyle \hat{B}$ chung
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{AHB} =\widehat{CAB} =90^{0}\\
\Longrightarrow \triangle HBA\backsim \triangle ABC\ ( g-g)
\end{array}$
b)
Tam giác ABC vuông tại A, theo Pytago, có:
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
AB^{2} +AC^{2} =BC^{2}\\
\Longrightarrow AC=\sqrt{BC^{2} -AB^{2}} =\sqrt{15^{2} -9^{2}} =12\ ( cm)
\end{array}$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\triangle HBA\backsim \triangle ABC\\
\Longrightarrow \frac{AH}{AC} =\frac{AB}{BC}\\
\Longrightarrow AH=\frac{AB}{BC} .AC=\frac{9}{15} .12=\frac{36}{5}( cm)
\end{array}$
c)
Có: $\displaystyle S_{\triangle ABK} =\frac{1}{2} .AH.BK,\ S_{\triangle AKC} =\frac{1}{2} .AH.KC$
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{S_{\triangle ABK}}{S_{\triangle AKC}} =\frac{BK}{KC} =\frac{AB}{AC} =\frac{9}{12} =\frac{3}{4}$ (tính chất đường phân giác)