Giúp mình với!

Câu 59. Để tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD) của hình chóp tứ giác đều S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm O của đáy ABCD: Vì ABCD là hình vuông, trung điểm O của đáy sẽ là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Do đó, O cũng là tâm của hình vuông ABCD. 2. Tính khoảng cách từ S đến O: Ta biết rằng trong hình chóp tứ giác đều, đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy sẽ đi qua trung điểm O của đáy. Ta cần tính chiều dài SO. 3. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SOB: - Tam giác SOB là tam giác vuông tại O. - SB là cạnh bên của hình chóp, do đó SB = 3a. - OB là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD, do đó OB = $\frac{AC}{2} = \frac{2a\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2}$. Áp dụng định lý Pythagoras: \[ SO^2 + OB^2 = SB^2 \] \[ SO^2 + (a\sqrt{2})^2 = (3a)^2 \] \[ SO^2 + 2a^2 = 9a^2 \] \[ SO^2 = 9a^2 - 2a^2 \] \[ SO^2 = 7a^2 \] \[ SO = a\sqrt{7} \] Vậy khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD) là \(a\sqrt{7}\). Đáp án đúng là: A. \(a\sqrt{7}\). Câu 60. Để tìm khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích của tam giác SAB: Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên SA cũng vuông góc với AB. Do đó, tam giác SAB là tam giác vuông tại A. Diện tích của tam giác SAB là: \[ S_{SAB} = \frac{1}{2} \times SA \times AB = \frac{1}{2} \times 2a \times 2a = 2a^2 \] 2. Tính thể tích của khối chóp SABC: Diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = AB \times AD = 2a \times a = 2a^2 \] Thể tích của khối chóp SABCD là: \[ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA = \frac{1}{3} \times 2a^2 \times 2a = \frac{4a^3}{3} \] Vì khối chóp SABC là một phần của khối chóp SABCD, ta có thể tính thể tích của khối chóp SABC bằng cách chia đôi thể tích của khối chóp SABCD (vì tam giác ABC chiếm một nửa diện tích đáy ABCD): \[ V_{SABC} = \frac{1}{2} \times V_{SABCD} = \frac{1}{2} \times \frac{4a^3}{3} = \frac{2a^3}{3} \] 3. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB): Gọi khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) là h. Ta có thể tính thể tích của khối chóp SABC theo hai cách khác nhau: - Theo diện tích đáy SAB và chiều cao từ C: \[ V_{SABC} = \frac{1}{3} \times S_{SAB} \times h = \frac{1}{3} \times 2a^2 \times h = \frac{2a^2h}{3} \] - Theo diện tích đáy ABC và chiều cao từ S: \[ V_{SABC} = \frac{2a^3}{3} \] Bằng cách so sánh hai biểu thức trên, ta có: \[ \frac{2a^2h}{3} = \frac{2a^3}{3} \] \[ 2a^2h = 2a^3 \] \[ h = a \] Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) là \( a \). Đáp án đúng là: C. a. Câu 61. Để tìm khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \((BDD'B')\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích tam giác \(BCD'\): - Tam giác \(BCD'\) là tam giác đều với cạnh bằng \(2a\). - Diện tích tam giác đều \(BCD'\) là: \[ S_{BCD'} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2a)^2 = \sqrt{3}a^2 \] 2. Tính thể tích khối chóp \(C.BDD'\): - Thể tích khối chóp \(C.BDD'\) cũng có thể tính qua hai cách khác nhau: - Cách 1: Thể tích khối chóp \(C.BDD'\) là: \[ V_{C.BDD'} = \frac{1}{3} \times S_{BDD'} \times h_{C} \] Trong đó, \(S_{BDD'}\) là diện tích tam giác \(BDD'\) và \(h_{C}\) là khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \((BDD'B')\). - Cách 2: Thể tích khối chóp \(C.BDD'\) cũng có thể tính qua tam giác \(BCD'\): \[ V_{C.BDD'} = \frac{1}{3} \times S_{BCD'} \times h_{D'} \] Trong đó, \(S_{BCD'} = \sqrt{3}a^2\) và \(h_{D'}\) là chiều cao hạ từ \(D'\) xuống đáy \(BCD'\). 3. Tính diện tích tam giác \(BDD'\): - Tam giác \(BDD'\) là tam giác vuông cân tại \(D\) với cạnh \(BD = DD' = 2a\). - Diện tích tam giác \(BDD'\) là: \[ S_{BDD'} = \frac{1}{2} \times BD \times DD' = \frac{1}{2} \times 2a \times 2a = 2a^2 \] 4. Tính thể tích khối chóp \(C.BDD'\): - Ta đã biết diện tích tam giác \(BCD'\) là \(\sqrt{3}a^2\) và chiều cao \(h_{D'}\) từ \(D'\) xuống đáy \(BCD'\) là \(a\) (vì \(D'\) nằm thẳng đứng trên \(D\)). - Vậy thể tích khối chóp \(C.BDD'\) là: \[ V_{C.BDD'} = \frac{1}{3} \times \sqrt{3}a^2 \times a = \frac{\sqrt{3}}{3}a^3 \] 5. Tìm khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \((BDD'B')\): - Gọi khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \((BDD'B')\) là \(d\). - Ta có: \[ V_{C.BDD'} = \frac{1}{3} \times S_{BDD'} \times d \] Thay vào: \[ \frac{\sqrt{3}}{3}a^3 = \frac{1}{3} \times 2a^2 \times d \] Giải ra \(d\): \[ \frac{\sqrt{3}}{3}a^3 = \frac{2a^2 \times d}{3} \] \[ \sqrt{3}a^3 = 2a^2 \times d \] \[ d = \frac{\sqrt{3}a^3}{2a^2} = \frac{\sqrt{3}a}{2} \] Như vậy, khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \((BDD'B')\) là \(\frac{\sqrt{3}a}{2}\). Đáp án đúng là: D. $\sqrt{3}a$. Câu 62. Để tìm khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định đường cao hạ từ B xuống mặt phẳng (SAC): - Gọi H là chân đường cao hạ từ B xuống mặt phẳng (SAC). - Ta cần tìm khoảng cách từ B đến H. 2. Tìm diện tích của tam giác SAC: - Diện tích tam giác SAC là $\frac{1}{2} \times SA \times AC$. - Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên SA cũng vuông góc với AC. - AC là đường chéo của hình vuông ABCD, do đó $AC = a\sqrt{2}$. - Diện tích tam giác SAC là $\frac{1}{2} \times SA \times a\sqrt{2}$. 3. Tìm thể tích của khối chóp SABC: - Thể tích của khối chóp SABC là $\frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao}$. - Diện tích đáy là diện tích hình vuông ABCD, tức là $a^2$. - Chiều cao là SA. - Thể tích khối chóp SABC là $\frac{1}{3} \times a^2 \times SA$. 4. Tìm thể tích của khối chóp BACS: - Thể tích của khối chóp BACS cũng là $\frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao}$. - Diện tích đáy là diện tích tam giác SAC. - Chiều cao là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC), tức là BH. - Thể tích khối chóp BACS là $\frac{1}{3} \times \text{Diện tích tam giác SAC} \times BH$. 5. Vì hai khối chóp SABC và BACS có cùng thể tích, ta có: \[ \frac{1}{3} \times a^2 \times SA = \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{2} \times SA \times a\sqrt{2} \right) \times BH \] 6. Giải phương trình để tìm BH: \[ a^2 \times SA = \frac{1}{2} \times SA \times a\sqrt{2} \times BH \] \[ a^2 = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times BH \] \[ a^2 = \frac{a\sqrt{2}}{2} \times BH \] \[ BH = \frac{2a^2}{a\sqrt{2}} \] \[ BH = \frac{2a}{\sqrt{2}} \] \[ BH = a\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ BH = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Đáp án đúng là: A. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Câu 63. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a, tức là nó là một hình lăng trụ đều. Điều này có nghĩa là đáy của lăng trụ là tam giác đều ABC và các cạnh bên AA', BB', CC' đều vuông góc với đáy. H là trung điểm của cạnh AC, do đó ta có AH = HC = $\frac{a}{2}$. Khoảng cách từ H đến mặt phẳng (A'B'C') chính là khoảng cách từ H đến đáy A'B'C'. Vì lăng trụ đứng nên khoảng cách này sẽ bằng chiều cao của lăng trụ từ đáy ABC đến đáy A'B'C'. Chiều cao của lăng trụ đứng là bằng cạnh bên AA' (vì lăng trụ đứng), tức là bằng a. Do đó, khoảng cách từ H đến mặt phẳng (A'B'C') là a. Đáp án đúng là: A. a Đáp số: A. a Câu 64. Trước tiên, ta xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (ABC). Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên khoảng cách từ M đến (ABC) sẽ bằng $\frac{1}{2}$ khoảng cách từ S đến (ABC). Khoảng cách từ S đến (ABC) là $SA = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Do đó, khoảng cách từ M đến (ABC) là: \[ \frac{1}{2} \times \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \] Tiếp theo, ta xác định khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (ABC). Vì N là trung điểm của SB, khoảng cách từ N đến (ABC) cũng sẽ bằng $\frac{1}{2}$ khoảng cách từ S đến (ABC). Do đó, khoảng cách từ N đến (ABC) là: \[ \frac{1}{2} \times \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \] Cuối cùng, ta xác định khoảng cách giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABC). Vì cả M và N đều có khoảng cách bằng nhau đến mặt phẳng (ABC), nên khoảng cách giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABC) cũng sẽ bằng khoảng cách từ M hoặc N đến (ABC). Do đó, khoảng cách giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABC) là: \[ \frac{a\sqrt{3}}{6} \] Vậy đáp án đúng là: D. $\frac{a\sqrt{3}}{6}$ Câu 65. Trước tiên, ta cần xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (A'B'C'D'). Khoảng cách này chính là chiều cao của hình hộp chữ nhật, tức là độ dài đoạn thẳng AA'. Ta biết rằng trong hình hộp chữ nhật, đường chéo A'C sẽ tạo thành tam giác vuông với các cạnh của hình hộp chữ nhật. Ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tìm độ dài AA'. Xét tam giác vuông A'AC, ta có: \[ A'C^2 = AA'^2 + AC^2 \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ (5a)^2 = AA'^2 + (4a)^2 \] \[ 25a^2 = AA'^2 + 16a^2 \] \[ AA'^2 = 25a^2 - 16a^2 \] \[ AA'^2 = 9a^2 \] \[ AA' = 3a \] Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (A'B'C'D') là 3a. Đáp án đúng là: D. 3a