Giải giúp mình với

Câu 1. Ta có: \[ \log_2 a^3 = 3 \log_2 a \] Vậy đáp án đúng là: D. $3 \log_2 a$. Câu 2. Trong hình chóp đều S.ABCD, ta có các cạnh bên SA, SB, SC, SD bằng nhau và đáy ABCD là hình vuông. Giao điểm của hai đường chéo AC và BD là O, đồng thời O cũng là tâm của đáy ABCD. Do hình chóp đều, khoảng cách từ đỉnh S đến mặt đáy (ABCD) sẽ là chiều cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Vì O là tâm của đáy ABCD, nên SO là đường thẳng vuông góc với đáy ABCD tại O. Vậy khoảng cách từ S đến mặt đáy (ABCD) là SO. Đáp án đúng là: B. SO. Câu 3. Dưới đây là phân tích từng mệnh đề để xác định mệnh đề nào là sai: A. $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ - Đây là quy tắc cơ bản về lũy thừa của một thương, do đó mệnh đề này đúng. B. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ - Đây là quy tắc cơ bản về lũy thừa của cùng cơ số, do đó mệnh đề này đúng. C. $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$ - Đây là quy tắc cơ bản về lũy thừa của lũy thừa, do đó mệnh đề này đúng. D. $\frac{a^m}{a^n} = a^{n-m}$ - Đây là quy tắc cơ bản về lũy thừa của thương, nhưng nó phải là $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, không phải $a^{n-m}$. Do đó, mệnh đề này sai. Vậy, mệnh đề sai là: D. $\frac{a^m}{a^n} = a^{n-m}$ Đáp án: D. Câu 4. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \ln(x - 2) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức ở trong dấu logarit tự nhiên (ln) phải lớn hơn 0. Cụ thể, ta có: \[ x - 2 > 0 \] Giải bất phương trình này: \[ x > 2 \] Vậy tập xác định của hàm số \( y = \ln(x - 2) \) là: \[ (2; +\infty) \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( (2; +\infty) \) Đáp số: C. \( (2; +\infty) \) Câu 5. Để rút gọn biểu thức \( P = x^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{x} \) với \( x > 0 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại căn thức dưới dạng lũy thừa: \[ \sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}} \] Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ P = x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}} \] Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: \[ x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}} = x^{\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\right)} \] Bước 4: Tính tổng các số mũ: \[ \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \] Bước 5: Kết luận: \[ P = x^{\frac{5}{6}} \] Vậy đáp án đúng là: D. \( P = x^{\frac{5}{6}} \) Đáp số: \( P = x^{\frac{5}{6}} \) Câu 6. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các cạnh đều bằng nhau và vuông góc với nhau. Ta sẽ tìm góc giữa đường thẳng AD và B'D'. - Đường thẳng AD nằm trên mặt đáy ABCD và vuông góc với cạnh AB. - Đường thẳng B'D' nằm trên mặt A'B'C'D' và vuông góc với cạnh A'D'. Ta sẽ vẽ hình và xác định các điểm: - Điểm A là đỉnh chung của các cạnh AD và AA'. - Điểm D là đỉnh chung của các cạnh AD và DC. - Điểm B' là đỉnh chung của các cạnh B'A' và B'C'. - Điểm D' là đỉnh chung của các cạnh D'A' và D'C'. Do đó, ta có thể thấy rằng đường thẳng AD và B'D' nằm trên hai mặt phẳng khác nhau nhưng vuông góc với nhau. Để tìm góc giữa chúng, ta cần xác định góc giữa hai đường thẳng này khi chúng cắt nhau hoặc song song với nhau. Trong trường hợp này, ta có thể thấy rằng đường thẳng AD và B'D' không cắt nhau trực tiếp nhưng chúng tạo thành một góc giữa chúng. Ta sẽ sử dụng tính chất của hình lập phương để xác định góc này. Ta có thể thấy rằng đường thẳng AD và B'D' tạo thành một tam giác vuông với cạnh chung là đường thẳng AA'. Do đó, góc giữa đường thẳng AD và B'D' là góc giữa hai đường thẳng này khi chúng cắt nhau hoặc song song với nhau. Ta có thể thấy rằng góc giữa đường thẳng AD và B'D' là góc giữa hai đường thẳng này khi chúng cắt nhau hoặc song song với nhau. Ta có thể thấy rằng góc giữa đường thẳng AD và B'D' là góc giữa hai đường thẳng này khi chúng cắt nhau hoặc song song với nhau. Do đó, ta có thể thấy rằng góc giữa đường thẳng AD và B'D' là góc giữa hai đường thẳng này khi chúng cắt nhau hoặc song song với nhau. Vậy góc giữa đường thẳng AD và B'D' là $45^0$. Đáp án đúng là: B. $45^0$. Câu 7. Công thức tính thể tích V của khối chóp là: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] Trong bài này, diện tích đáy là \( 2a^3 \) và chiều cao là \( 3a \). Áp dụng công thức trên, ta có: \[ V = \frac{1}{3} \times 2a^3 \times 3a \] Thực hiện phép nhân: \[ V = \frac{1}{3} \times 6a^4 \] Rút gọn: \[ V = 2a^4 \] Vậy đáp án đúng là: D. \( V = 2a^4 \) Đáp số: \( V = 2a^4 \) Câu 8. Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và \(SA \perp AB, SA \perp AC\). Do \(SA \perp AB\) và \(SA \perp AC\), ta suy ra \(SA \perp (ABC)\) vì \(AB\) và \(AC\) là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng \((ABC)\). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng để xem \(SA\) có vuông góc với chúng hay không: - Mặt phẳng \((SBD)\): - \(SA \perp AB\) nhưng \(SA\) không chắc chắn vuông góc với \(BD\) (vì \(BD\) không nằm trong mặt phẳng \((ABC)\)). - Do đó, ta không thể kết luận rằng \(SA \perp (SBD)\). - Mặt phẳng \((SBC)\): - \(SA \perp AC\) nhưng \(SA\) không chắc chắn vuông góc với \(BC\) (vì \(BC\) không nằm trong mặt phẳng \((ABC)\)). - Do đó, ta không thể kết luận rằng \(SA \perp (SBC)\). - Mặt phẳng \((SAC)\): - \(SA \perp AC\) nhưng \(SA\) nằm trong mặt phẳng \((SAC)\), do đó \(SA\) không thể vuông góc với chính nó. - Do đó, ta không thể kết luận rằng \(SA \perp (SAC)\). - Mặt phẳng \((ABCD)\): - \(SA \perp AB\) và \(SA \perp AC\), do đó \(SA \perp (ABC)\). - Vì \(ABCD\) là hình bình hành, \(AB\) và \(AC\) là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng \((ABCD)\), nên \(SA \perp (ABCD)\). Vậy, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Đáp án đúng là: D. \((ABCD)\). Câu 9. Hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với SA. Do SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên SB sẽ vuông góc với hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABCD). Trong các lựa chọn: - SC không nằm trong mặt phẳng (ABCD). - AC nằm trong mặt phẳng (ABCD) nhưng không phải là hình chiếu của SB. - AB nằm trong mặt phẳng (ABCD) nhưng không phải là hình chiếu của SB. - SB nằm trong mặt phẳng (ABCD) và là hình chiếu của SB. Vậy hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABCD) là SB. Đáp án đúng là: D. SB. Câu 10. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ dựa vào các kiến thức về hình học không gian đã học ở lớp 11. Bước 1: Xác định vấn đề - Chúng ta cần tìm số lượng đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Bước 2: Áp dụng kiến thức hình học không gian - Theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Qua một điểm thuộc mặt phẳng, chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó. - Điều này có nghĩa là nếu ta có một điểm nằm trên mặt phẳng, thì chỉ có một đường thẳng duy nhất đi qua điểm đó và vuông góc với mặt phẳng. Bước 3: Kết luận - Do đó, qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước, chỉ có duy nhất một đường thẳng. Vậy đáp án đúng là: A. 1. Đáp số: A. 1. Câu 11. Phương trình $2^x = 5$ có thể giải bằng cách sử dụng hàm logarit. Cụ thể, ta áp dụng tính chất của logarit để tìm giá trị của $x$. Bước 1: Áp dụng tính chất của logarit: \[ x = \log_2 5 \] Bước 2: Kiểm tra đáp án: - Đáp án A: $x = 2^5$ là sai vì $2^5 = 32$, không thỏa mãn phương trình $2^x = 5$. - Đáp án B: $x = \log_2 5$ là đúng vì $\log_2 5$ là giá trị của $x$ sao cho $2^x = 5$. - Đáp án C: $x = \log_5 2$ là sai vì $\log_5 2$ không thỏa mãn phương trình $2^x = 5$. - Đáp án D: $x = 2$ là sai vì $2^2 = 4$, không thỏa mãn phương trình $2^x = 5$. Vậy nghiệm của phương trình $2^x = 5$ là: \[ x = \log_2 5 \] Đáp án đúng là: B. $x = \log_2 5$. Câu 12. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng $90^0$. Đáp án đúng là: D. $90^0$. Câu 1. a) Phương trình $\log(x-1)=10$ có một nghiệm. Điều kiện: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$. Phương trình $\log(x-1)=10$ có thể viết lại thành $x - 1 = 10^{10}$. Do đó, $x = 10^{10} + 1$. Vì $10^{10} + 1 > 1$, nên phương trình có một nghiệm duy nhất là $x = 10^{10} + 1$. Đáp số: Đúng. b) Nghiệm của bất phương trình $\log_2x < \log_23$ là $x < 3$. Điều kiện: $x > 0$. Bất phương trình $\log_2x < \log_23$ có thể viết lại thành $x < 3$ (vì hàm logarit cơ số 2 là hàm tăng). Tuy nhiên, ta cũng cần đảm bảo rằng $x > 0$. Do đó, nghiệm của bất phương trình là $0 < x < 3$. Đáp số: Sai, vì cần thêm điều kiện $x > 0$. c) Phương trình mũ cơ bản $a^x = b$ (với $0 < a \neq 1)$ có nghiệm duy nhất khi $b \geq 0$. Phương trình $a^x = b$ có nghiệm duy nhất khi $b > 0$ (không cần thiết phải $b \geq 0$). Nếu $b = 0$, phương trình không có nghiệm vì $a^x$ luôn dương khi $a > 0$ và $a \neq 1$. Đáp số: Sai, vì cần $b > 0$. d) Giá trị của biểu thức: $\log_42 + \log_432$ bằng 3. Ta có $\log_42 + \log_432 = \log_4(2 \cdot 32) = \log_464 = \log_4(4^3) = 3$. Đáp số: Đúng. Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.