hãy giải dùm

Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên từng khoảng. 2. Xác định giá trị của hằng số nguyên hàm dựa vào điều kiện \( F(0) = 2 \). 3. Tính \( F(-1) \) và \( F(2) \). 4. Tính \( F(-1) + 2F(2) \). Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \) - Khi \( x \geq 1 \): \[ f(x) = 2x + 3 \] Nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ F(x) = \int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x + C_1 \] - Khi \( x < 1 \): \[ f(x) = 3x^2 + 2 \] Nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ F(x) = \int (3x^2 + 2) \, dx = x^3 + 2x + C_2 \] Bước 2: Xác định giá trị của hằng số nguyên hàm Ta biết rằng \( F(0) = 2 \). Vì \( 0 < 1 \), nên ta sử dụng nguyên hàm \( F(x) = x^3 + 2x + C_2 \): \[ F(0) = 0^3 + 2 \cdot 0 + C_2 = 2 \] \[ C_2 = 2 \] Do đó, nguyên hàm của \( f(x) \) khi \( x < 1 \) là: \[ F(x) = x^3 + 2x + 2 \] Bước 3: Tính \( F(-1) \) và \( F(2) \) - Khi \( x = -1 \) (vì \( -1 < 1 \)): \[ F(-1) = (-1)^3 + 2(-1) + 2 = -1 - 2 + 2 = -1 \] - Khi \( x = 2 \) (vì \( 2 \geq 1 \)): \[ F(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 + C_1 = 4 + 6 + C_1 = 10 + C_1 \] Để xác định \( C_1 \), ta cần liên tục của \( F(x) \) tại \( x = 1 \): \[ F(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 + C_1 = 1 + 3 + C_1 = 4 + C_1 \] \[ F(1) = 1^3 + 2 \cdot 1 + 2 = 1 + 2 + 2 = 5 \] Do đó: \[ 4 + C_1 = 5 \] \[ C_1 = 1 \] Vậy, nguyên hàm của \( f(x) \) khi \( x \geq 1 \) là: \[ F(x) = x^2 + 3x + 1 \] Tính \( F(2) \): \[ F(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 + 1 = 4 + 6 + 1 = 11 \] Bước 4: Tính \( F(-1) + 2F(2) \) \[ F(-1) + 2F(2) = -1 + 2 \cdot 11 = -1 + 22 = 21 \] Vậy giá trị của \( F(-1) + 2F(2) \) là 21. Đáp án đúng là: D. 21. Câu 8. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên từng khoảng và sau đó sử dụng điều kiện \( F(0) = 2 \) để xác định hằng số nguyên hàm. 1. Tìm nguyên hàm của \( f(x) \): - Khi \( x \geq 1 \), ta có \( f(x) = 2x + 2 \). Nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ F(x) = \int (2x + 2) \, dx = x^2 + 2x + C_1 \] - Khi \( x < 1 \), ta có \( f(x) = 3x^2 + 1 \). Nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ F(x) = \int (3x^2 + 1) \, dx = x^3 + x + C_2 \] 2. Xác định hằng số \( C_1 \) và \( C_2 \) bằng điều kiện \( F(0) = 2 \): - Vì \( 0 < 1 \), ta sử dụng \( F(x) = x^3 + x + C_2 \) tại \( x = 0 \): \[ F(0) = 0^3 + 0 + C_2 = 2 \implies C_2 = 2 \] - Do đó, khi \( x < 1 \), ta có: \[ F(x) = x^3 + x + 2 \] 3. Để đảm bảo liên tục của \( F(x) \) tại \( x = 1 \), ta cần \( F(1) \) từ cả hai phía phải bằng nhau: - Từ phía \( x \geq 1 \): \[ F(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 + C_1 = 3 + C_1 \] - Từ phía \( x < 1 \): \[ F(1) = 1^3 + 1 + 2 = 4 \] - Do đó: \[ 3 + C_1 = 4 \implies C_1 = 1 \] - Vậy khi \( x \geq 1 \), ta có: \[ F(x) = x^2 + 2x + 1 \] 4. Tính \( F(-1) \) và \( F(2) \): - Khi \( x = -1 \) (vì \( -1 < 1 \)): \[ F(-1) = (-1)^3 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0 \] - Khi \( x = 2 \) (vì \( 2 \geq 1 \)): \[ F(2) = 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 4 + 1 = 9 \] 5. Tính \( F(-1) + 2F(2) \): \[ F(-1) + 2F(2) = 0 + 2 \cdot 9 = 18 \] Vậy giá trị của \( F(-1) + 2F(2) \) là 18. Đáp án đúng là A. 18. Câu 9. Để tìm một nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 2x + e^x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của mỗi thành phần trong \( f(x) \). - Nguyên hàm của \( 2x \) là \( x^2 \). - Nguyên hàm của \( e^x \) là \( e^x \). Do đó, nguyên hàm tổng quát của \( f(x) \) là: \[ F(x) = x^2 + e^x + C \] trong đó \( C \) là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F(0) = 2024 \). Thay \( x = 0 \) vào \( F(x) \): \[ F(0) = 0^2 + e^0 + C = 1 + C \] Theo điều kiện \( F(0) = 2024 \), ta có: \[ 1 + C = 2024 \] \[ C = 2024 - 1 \] \[ C = 2023 \] Bước 3: Viết lại nguyên hàm cụ thể của \( f(x) \) với giá trị \( C \) đã tìm được. Nguyên hàm cụ thể của \( f(x) \) là: \[ F(x) = x^2 + e^x + 2023 \] Đáp số: \[ F(x) = x^2 + e^x + 2023 \] Câu 10. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \sin x + 1 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \). Nguyên hàm của \( \sin x \) là \( -\cos x \). Nguyên hàm của \( 1 \) là \( x \). Do đó, nguyên hàm của \( f(x) = \sin x + 1 \) là: \[ F(x) = -\cos x + x + C \] trong đó \( C \) là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F\left( \frac{\pi}{6} \right) = 0 \). Thay \( x = \frac{\pi}{6} \) vào \( F(x) \): \[ F\left( \frac{\pi}{6} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) + \frac{\pi}{6} + C \] Biết rằng \( \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), ta có: \[ F\left( \frac{\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} + C \] Theo đề bài, \( F\left( \frac{\pi}{6} \right) = 0 \), nên: \[ -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} + C = 0 \] Giải ra \( C \): \[ C = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \] Bước 3: Viết lại nguyên hàm \( F(x) \) với hằng số \( C \) đã tìm được. \[ F(x) = -\cos x + x + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \right) \] Vậy, nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \sin x + 1 \) là: \[ F(x) = -\cos x + x + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \] Câu 11. Để tính $F(0)$, trước tiên chúng ta cần tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = (5x + 3)^5$. Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x)$. Ta thực hiện phép đổi biến để dễ dàng tính nguyên hàm. Đặt $u = 5x + 3$, suy ra $du = 5dx$ hoặc $dx = \frac{1}{5} du$. Do đó, \[ \int (5x + 3)^5 dx = \int u^5 \cdot \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int u^5 du = \frac{1}{5} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{(5x + 3)^6}{30} + C. \] Vậy, $F(x) = \frac{(5x + 3)^6}{30} + C$. Bước 2: Xác định hằng số $C$ bằng cách sử dụng điều kiện $F(1) = 0$. Thay $x = 1$ vào $F(x)$: \[ F(1) = \frac{(5 \cdot 1 + 3)^6}{30} + C = \frac{8^6}{30} + C = 0. \] Từ đây, ta có: \[ C = -\frac{8^6}{30}. \] Bước 3: Viết lại $F(x)$ với hằng số $C$ đã tìm được. \[ F(x) = \frac{(5x + 3)^6}{30} - \frac{8^6}{30}. \] Bước 4: Tính $F(0)$. Thay $x = 0$ vào $F(x)$: \[ F(0) = \frac{(5 \cdot 0 + 3)^6}{30} - \frac{8^6}{30} = \frac{3^6}{30} - \frac{8^6}{30} = \frac{729}{30} - \frac{262144}{30} = \frac{729 - 262144}{30} = \frac{-261415}{30} = -\frac{261415}{30}. \] Vậy, $F(0) = -\frac{261415}{30}$. Câu 12. Để tìm $F(x)$, ta cần tính nguyên hàm của $f(x) = x^3 - 4x + 5$. Bước 1: Tính nguyên hàm của $f(x)$. \[ F(x) = \int (x^3 - 4x + 5) \, dx \] Ta tính từng phần nguyên hàm: \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \] \[ \int -4x \, dx = -2x^2 \] \[ \int 5 \, dx = 5x \] Vậy: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} - 2x^2 + 5x + C \] trong đó $C$ là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số $C$ bằng cách sử dụng điều kiện $F(1) = 3$. \[ F(1) = \frac{1^4}{4} - 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 + C = 3 \] \[ \frac{1}{4} - 2 + 5 + C = 3 \] \[ \frac{1}{4} + 3 + C = 3 \] \[ \frac{1}{4} + C = 0 \] \[ C = -\frac{1}{4} \] Bước 3: Viết lại $F(x)$ với hằng số $C$ đã tìm được. \[ F(x) = \frac{x^4}{4} - 2x^2 + 5x - \frac{1}{4} \] Bước 4: Tính $F(0)$. \[ F(0) = \frac{0^4}{4} - 2 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 - \frac{1}{4} \] \[ F(0) = -\frac{1}{4} \] Vậy $F(0) = -\frac{1}{4}$. Câu 13. Để tìm $F(x)$, ta cần tính nguyên hàm của $f(x) = 3 - 5\cos x$. Bước 1: Tính nguyên hàm của $f(x)$: \[ F(x) = \int (3 - 5\cos x) \, dx \] Bước 2: Tính từng phần nguyên hàm: \[ F(x) = \int 3 \, dx - \int 5\cos x \, dx \] \[ F(x) = 3x - 5\sin x + C \] Bước 3: Xác định hằng số $C$ bằng cách sử dụng điều kiện $F(\pi) = 2$: \[ F(\pi) = 3\pi - 5\sin \pi + C = 2 \] \[ 3\pi - 5(0) + C = 2 \] \[ 3\pi + C = 2 \] \[ C = 2 - 3\pi \] Bước 4: Viết lại $F(x)$ với hằng số $C$ đã tìm được: \[ F(x) = 3x - 5\sin x + 2 - 3\pi \] Bước 5: Tính $F\left(\frac{\pi}{2}\right)$: \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3\left(\frac{\pi}{2}\right) - 5\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 - 3\pi \] \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{2} - 5(1) + 2 - 3\pi \] \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{2} - 5 + 2 - 3\pi \] \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{2} - 3\pi - 3 \] \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi - 6\pi}{2} - 3 \] \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{-3\pi}{2} - 3 \] Vậy, giá trị của $F\left(\frac{\pi}{2}\right)$ là: \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{-3\pi}{2} - 3 \] Câu 14. Để tính $F(2)$, trước tiên chúng ta cần tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{3 - 5x^2}{x}$. Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x)$ Ta có: \[ f(x) = \frac{3 - 5x^2}{x} = \frac{3}{x} - 5x \] Tìm nguyên hàm của mỗi phần riêng lẻ: \[ \int \left( \frac{3}{x} - 5x \right) dx = \int \frac{3}{x} dx - \int 5x dx \] Nguyên hàm của $\frac{3}{x}$ là $3 \ln |x|$ và nguyên hàm của $5x$ là $\frac{5x^2}{2}$. Do đó: \[ F(x) = 3 \ln |x| - \frac{5x^2}{2} + C \] với $C$ là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số $C$ Biết rằng $F(e) = 1$, ta thay $x = e$ vào $F(x)$ để tìm $C$: \[ F(e) = 3 \ln |e| - \frac{5e^2}{2} + C = 1 \] Vì $\ln |e| = 1$, ta có: \[ 3 \cdot 1 - \frac{5e^2}{2} + C = 1 \] \[ 3 - \frac{5e^2}{2} + C = 1 \] \[ C = 1 - 3 + \frac{5e^2}{2} \] \[ C = -2 + \frac{5e^2}{2} \] Bước 3: Viết lại $F(x)$ với hằng số $C$ đã tìm được \[ F(x) = 3 \ln |x| - \frac{5x^2}{2} - 2 + \frac{5e^2}{2} \] Bước 4: Tính $F(2)$ Thay $x = 2$ vào $F(x)$: \[ F(2) = 3 \ln |2| - \frac{5 \cdot 2^2}{2} - 2 + \frac{5e^2}{2} \] \[ F(2) = 3 \ln 2 - \frac{5 \cdot 4}{2} - 2 + \frac{5e^2}{2} \] \[ F(2) = 3 \ln 2 - 10 - 2 + \frac{5e^2}{2} \] \[ F(2) = 3 \ln 2 - 12 + \frac{5e^2}{2} \] Vậy, giá trị của $F(2)$ là: \[ F(2) = 3 \ln 2 - 12 + \frac{5e^2}{2} \] Câu 15. Để tính $F(-1)$, trước tiên chúng ta cần tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$. Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x)$. \[ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac{1}{x} \] Nguyên hàm của $f(x)$ là: \[ F(x) = \int \left( x + \frac{1}{x} \right) dx = \int x \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} + \ln |x| + C \] Bước 2: Xác định hằng số $C$ bằng cách sử dụng điều kiện $F(1) = \frac{3}{2}$. \[ F(1) = \frac{1^2}{2} + \ln |1| + C = \frac{1}{2} + 0 + C = \frac{1}{2} + C \] \[ \frac{1}{2} + C = \frac{3}{2} \] \[ C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1 \] Do đó, nguyên hàm $F(x)$ là: \[ F(x) = \frac{x^2}{2} + \ln |x| + 1 \] Bước 3: Tính $F(-1)$. \[ F(-1) = \frac{(-1)^2}{2} + \ln |-1| + 1 = \frac{1}{2} + \ln 1 + 1 = \frac{1}{2} + 0 + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \] Vậy, $F(-1) = \frac{3}{2}$. Đáp số: $F(-1) = \frac{3}{2}$. Câu 16. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2} = \frac{x^3}{x^2} - \frac{1}{x^2} = x - \frac{1}{x^2} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần: \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 \] \[ \int -\frac{1}{x^2} \, dx = \int -x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C_2 = \frac{1}{x} + C_2 \] Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x} + C \] Bước 4: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F(-2) = 0 \): \[ F(-2) = \frac{(-2)^2}{2} + \frac{1}{-2} + C = 0 \] \[ \frac{4}{2} - \frac{1}{2} + C = 0 \] \[ 2 - \frac{1}{2} + C = 0 \] \[ \frac{4}{2} - \frac{1}{2} + C = 0 \] \[ \frac{3}{2} + C = 0 \] \[ C = -\frac{3}{2} \] Bước 5: Viết kết quả cuối cùng: \[ F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x} - \frac{3}{2} \] Đáp số: \( F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x} - \frac{3}{2} \) Câu 17. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = x\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của mỗi thành phần trong \( f(x) \). Ta có: \[ f(x) = x\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \] Có thể viết lại dưới dạng: \[ f(x) = x^{3/2} + x^{-1/2} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần. Nguyên hàm của \( x^{3/2} \): \[ \int x^{3/2} \, dx = \frac{x^{5/2}}{\frac{5}{2}} + C_1 = \frac{2}{5}x^{5/2} + C_1 \] Nguyên hàm của \( x^{-1/2} \): \[ \int x^{-1/2} \, dx = \frac{x^{1/2}}{\frac{1}{2}} + C_2 = 2x^{1/2} + C_2 \] Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm lại. Do đó, nguyên hàm tổng quát của \( f(x) \) là: \[ F(x) = \frac{2}{5}x^{5/2} + 2x^{1/2} + C \] Bước 4: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F(1) = -2 \). Thay \( x = 1 \) vào \( F(x) \): \[ F(1) = \frac{2}{5}(1)^{5/2} + 2(1)^{1/2} + C = -2 \] \[ \frac{2}{5} + 2 + C = -2 \] Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.