Nóksjishsjs

Câu 1: Để tính giá trị của biểu thức \( B = 3\log_4 a + 5\log_4 b \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \( a \) và \( b \): Ta biết rằng \( a^3 b^5 = 2^6 \). Ta có thể viết lại \( 2^6 \) dưới dạng \( (2^2)^3 = 4^3 \). Do đó, ta có: \[ a^3 b^5 = 4^3 \] 2. Áp dụng công thức lôgarit: Ta cần tính \( B = 3\log_4 a + 5\log_4 b \). Áp dụng công thức \( \log_b (x^n) = n \log_b x \), ta có: \[ 3\log_4 a = \log_4 (a^3) \] \[ 5\log_4 b = \log_4 (b^5) \] Vậy: \[ B = \log_4 (a^3) + \log_4 (b^5) \] 3. Sử dụng tính chất lôgarit tổng: Ta biết rằng \( \log_b (xy) = \log_b x + \log_b y \). Do đó: \[ B = \log_4 (a^3 b^5) \] 4. Thay giá trị đã biết vào biểu thức: Ta đã biết \( a^3 b^5 = 4^3 \). Do đó: \[ B = \log_4 (4^3) \] 5. Tính giá trị cuối cùng: Ta biết rằng \( \log_b (b^n) = n \). Do đó: \[ \log_4 (4^3) = 3 \] Vậy giá trị của biểu thức \( B \) là: \[ B = 3 \] Câu 2: Để giải phương trình $\log_3(x^2-7x+15)=2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Đối với phương trình $\log_3(x^2-7x+15)=2$, ta cần đảm bảo rằng $x^2 - 7x + 15 > 0$. Bước 2: Giải phương trình - Ta có $\log_3(x^2-7x+15)=2$. Điều này tương đương với: \[ x^2 - 7x + 15 = 3^2 \] \[ x^2 - 7x + 15 = 9 \] Bước 3: Chuyển vế và giải phương trình bậc hai - Ta chuyển vế để có phương trình bậc hai: \[ x^2 - 7x + 15 - 9 = 0 \] \[ x^2 - 7x + 6 = 0 \] Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai - Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 7x + 6 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 6) = 0 \] - Từ đây, ta tìm được các nghiệm: \[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \] \[ x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6 \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định - Ta kiểm tra các nghiệm đã tìm được với điều kiện $x^2 - 7x + 15 > 0$: - Với $x = 1$: $1^2 - 7 \cdot 1 + 15 = 1 - 7 + 15 = 9 > 0$ (thỏa mãn ĐKXĐ) - Với $x = 6$: $6^2 - 7 \cdot 6 + 15 = 36 - 42 + 15 = 9 > 0$ (thỏa mãn ĐKXĐ) Bước 6: Kết luận - Phương trình $\log_3(x^2-7x+15)=2$ có hai nghiệm lớn hơn 0 là $x = 1$ và $x = 6$. Vậy phương trình có 2 nghiệm lớn hơn 0. Câu 3: Trước tiên, ta xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Gọi O là tâm của hình thoi ABCD, ta có SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Ta sẽ tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SO. Vì O là tâm của hình thoi ABCD, nên O cũng là trung điểm của AC và BD. Ta có: \[ OC = \frac{AC}{2} \] Trong tam giác ABC, ta có: \[ AC = AB \cdot \cos(60^\circ) + BC \cdot \cos(60^\circ) = a\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} + a\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = a\sqrt{3} \] Do đó: \[ OC = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] Bây giờ, ta tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SO. Ta có: \[ SO = SA = a\sqrt{3} \] Trong tam giác SOC, ta có: \[ \tan(\angle SCO) = \frac{OC}{SO} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ \angle SCO = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \] Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là: \[ \boxed{\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)} \] Câu 4: Để tìm số đo của góc nhị diện [S, BD, C], ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trực giao của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng (SBD) và (CBD) chung đường thẳng BD. - Ta cần tìm đường thẳng d trong mặt phẳng (SBD) vuông góc với BD. 2. Tìm trực giao d: - Vì SA vuông góc với đáy ABCD, nên SA vuông góc với BD. - Mặt khác, AC cũng vuông góc với BD vì ABCD là hình vuông. - Do đó, BD vuông góc với cả SA và AC, suy ra BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). - Vậy đường thẳng SD nằm trong mặt phẳng (SBD) và vuông góc với BD. 3. Xác định góc nhị diện: - Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (CBD) là góc giữa hai đường thẳng SD và CD. 4. Tính góc giữa SD và CD: - Trong tam giác SAD, ta có SA = $\frac{5\sqrt{6}}{2}$ và AD = 5. - Áp dụng định lý Pythagoras để tính SD: \[ SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{\left(\frac{5\sqrt{6}}{2}\right)^2 + 5^2} = \sqrt{\frac{150}{4} + 25} = \sqrt{\frac{150 + 100}{4}} = \sqrt{\frac{250}{4}} = \frac{5\sqrt{10}}{2} \] - Trong tam giác SCD, ta có SD = $\frac{5\sqrt{10}}{2}$ và CD = 5. - Ta cần tính góc $\angle$CDS: \[ \cos(\angle CDS) = \frac{CD}{SD} = \frac{5}{\frac{5\sqrt{10}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5} \] \[ \angle CDS = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right) \] 5. Kết luận: - Số đo của góc nhị diện [S, BD, C] là $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)$. Đáp số: $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)$ Câu 1: Để tính thời gian gửi tiết kiệm cần thiết để số tiền ban đầu tăng gấp bốn lần, ta làm như sau: 1. Xác định biểu thức cho số tiền sau t kì gửi: Số tiền ban đầu là \(P\). Sau \(t\) kì gửi, số tiền cả vốn lẫn lãi là: \[ A = P(1 + r)^t \] 2. Xác định điều kiện để số tiền tăng gấp bốn lần: Ta cần số tiền sau \(t\) kì gửi gấp bốn lần số tiền ban đầu, tức là: \[ A = 4P \] Thay vào biểu thức trên, ta có: \[ 4P = P(1 + r)^t \] 3. Giải phương trình để tìm \(t\): Chia cả hai vế cho \(P\) (với \(P \neq 0\)): \[ 4 = (1 + r)^t \] Lấy logarit cơ số 10 của cả hai vế: \[ \log_{10}(4) = \log_{10}((1 + r)^t) \] Áp dụng công thức logarit \(\log_{10}(a^b) = b \cdot \log_{10}(a)\): \[ \log_{10}(4) = t \cdot \log_{10}(1 + r) \] Giải ra \(t\): \[ t = \frac{\log_{10}(4)}{\log_{10}(1 + r)} \] 4. Kết luận: Thời gian gửi tiết kiệm cần thiết để số tiền ban đầu tăng gấp bốn lần là: \[ t = \frac{\log_{10}(4)}{\log_{10}(1 + r)} \] Đáp số: \( t = \frac{\log_{10}(4)}{\log_{10}(1 + r)} \) Câu 2: Để kiểm tra chiếc cột có vuông góc với mặt sân hay không, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và Pythagoras. Bước 1: Xác định các điểm và khoảng cách. - Điểm O là điểm đặt chân cột trên mặt sân. - Điểm M là điểm trên cột cách chân cột 120 cm. - Điểm A và B đều cách O là 50 cm. - Độ dài MA và MB đều bằng 130 cm. Bước 2: Kiểm tra xem tam giác OMA và OMB có phải là tam giác vuông hay không. - Ta có OA = OB = 50 cm, OM = 120 cm, MA = MB = 130 cm. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OMA: \[ OM^2 + OA^2 = 120^2 + 50^2 = 14400 + 2500 = 16900 \] \[ MA^2 = 130^2 = 16900 \] Vì \( OM^2 + OA^2 = MA^2 \), nên tam giác OMA là tam giác vuông tại O. Tương tự, áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OMB: \[ OM^2 + OB^2 = 120^2 + 50^2 = 14400 + 2500 = 16900 \] \[ MB^2 = 130^2 = 16900 \] Vì \( OM^2 + OB^2 = MB^2 \), nên tam giác OMB là tam giác vuông tại O. Bước 3: Kết luận. Vì cả hai tam giác OMA và OMB đều là tam giác vuông tại O, nên chiếc cột vuông góc với mặt sân. Đáp số: Chiếc cột vuông góc với mặt sân. Câu 3: Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng tỉ lệ để tìm chiều dài bóng của người. Bước 1: Xác định tỉ lệ giữa chiều cao của cột và chiều dài bóng của cột. Chiều cao của cột là 10m và chiều dài bóng của cột là 7m. Tỉ lệ giữa chiều cao của cột và chiều dài bóng của cột là: \[ \frac{10}{7} \] Bước 2: Áp dụng tỉ lệ này để tìm chiều dài bóng của người. Chiều cao của người là 170cm, ta chuyển đổi đơn vị sang mét để dễ tính toán: \[ 170 \text{ cm} = 1.7 \text{ m} \] Gọi chiều dài bóng của người là \( x \) (m). Theo tỉ lệ, ta có: \[ \frac{10}{7} = \frac{1.7}{x} \] Bước 3: Giải phương trình tỉ lệ để tìm \( x \): \[ 10x = 7 \times 1.7 \] \[ 10x = 11.9 \] \[ x = \frac{11.9}{10} \] \[ x = 1.19 \text{ m} \] Vậy, bóng của người này trên mặt đất dài 1.19m. Đáp số: 1.19m. Câu 4: Để tính số tiền mua bê tông tươi làm chân tháp, chúng ta cần biết thể tích của khối chóp cụt tứ giác đều. Dưới đây là các bước chi tiết: 1. Tính chiều cao của khối chóp cụt: - Gọi chiều cao của khối chóp cụt là \( h \). - Ta có cạnh đáy dưới \( a_1 = 6 \) m, cạnh đáy trên \( a_2 = 4 \) m, và cạnh bên \( l = 3 \) m. - Chiều cao của khối chóp cụt \( h \) có thể tính bằng công thức: \[ h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2} \] - Thay các giá trị vào: \[ h = \sqrt{3^2 - \left(\frac{6 - 4}{2}\right)^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ m} \] 2. Tính diện tích đáy dưới và đáy trên: - Diện tích đáy dưới \( A_1 \): \[ A_1 = a_1^2 = 6^2 = 36 \text{ m}^2 \] - Diện tích đáy trên \( A_2 \): \[ A_2 = a_2^2 = 4^2 = 16 \text{ m}^2 \] 3. Tính diện tích trung gian: - Diện tích trung gian \( A_m \): \[ A_m = \frac{A_1 + A_2}{2} = \frac{36 + 16}{2} = 26 \text{ m}^2 \] 4. Tính thể tích của khối chóp cụt: - Thể tích \( V \) của khối chóp cụt: \[ V = \frac{h}{3} (A_1 + A_2 + A_m) \] - Thay các giá trị vào: \[ V = \frac{2\sqrt{2}}{3} (36 + 16 + 26) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times 78 = 52\sqrt{2} \text{ m}^3 \] 5. Tính số tiền mua bê tông tươi: - Giá bê tông tươi là 1 300 000 đồng/m³. - Số tiền mua bê tông tươi: \[ \text{Số tiền} = 52\sqrt{2} \times 1 300 000 \approx 52 \times 1.414 \times 1 300 000 \approx 93 000 000 \text{ đồng} \] Vậy số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là khoảng 93 000 000 đồng (làm tròn đến hàng nghìn).