* cho Δ ABC nhọn ( AB

Question

* cho Δ ABC nhọn ( AB<AC ), hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của GB và GC.
a) Chứng minh rằng: MN ║ DE
b) Chứng minh rằng: ND║ ME
c) Chứng minh rằng: GN=GE
Giải hộ mình câu này với các bạn

nguyentopaz · Accepted Answer

a) Vì $BM$ và $CN$ là các đường trung tuyến của tam giác $ABC$ nên
$$
AM = MC, \quad AN = NB
$$

Tam giác $ABC$ có: $AM = MC, AN = NB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.

Do đó,
$$
MN \parallel BC, \quad MN = \frac{1}{2} BC
$$

Tam giác $GBC$ có: $D, E$ lần lượt là trung điểm của $GB, GC$ nên $DE$ là đường trung bình của tam giác $GBC$.

Do đó,
$$
DE \parallel BC, \quad DE = \frac{1}{2} BC
$$

Ta có: $MN \parallel BC, DE \parallel BC$ nên $MN \parallel DE$.

b) Tứ giác $MNDE$ có: $MN \parallel DE$,
$$
MN = DE = \left(\frac{BC}{2} \right)
$$

Do đó, tứ giác $MNDE$ là hình bình hành. Suy ra $ND \parallel ME$.

Timi · Answer

a) Ta có M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB nên MN // BC (dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
Mà D, E lần lượt là trung điểm của GB và GC nên DE // BC (dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
Vậy MN // DE (hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau)

b) Ta có M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB nên MN // BC (dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
Mà D, E lần lượt là trung điểm của GB và GC nên DE // BC (dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
Vậy MN // DE (hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau)
Ta có G là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Vậy AG = 2GD và CG = 2GE (tính chất trọng tâm)
Suy ra GD = GE (chia đôi một đoạn thẳng thì được hai đoạn thẳng bằng nhau)
Ta có MN // DE (chứng minh trên) nên góc AMN = góc ADE (hai góc đồng vị)
Và góc ANM = góc AED (hai góc đồng vị)
Mà AM = AE (vì M là trung điểm của AC và G là trọng tâm của tam giác ABC)
Vậy tam giác AMN = tam giác ADE (góc - cạnh - góc)
Suy ra AN = AD (hai tam giác bằng nhau thì các cặp cạnh tương ứng bằng nhau)
Vậy ND = ME (chênh lệch giữa hai đoạn thẳng bằng nhau)
Ta có ND = ME (chứng minh trên) và ND // ME (chứng minh trên)
Vậy NDME là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Suy ra ND // ME (tính chất hình bình hành)

c) Ta có G là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Vậy AG = 2GD và CG = 2GE (tính chất trọng tâm)
Suy ra GD = GE (chia đôi một đoạn thẳng thì được hai đoạn thẳng bằng nhau)

* cho Δ ABC nhọn ( AB<AC ), hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của GB và GC. a) Chứng minh rằng: MN ║ DE b) Chứng minh rằng: ND║ ME c) Chứng minh rằng: GN=...