Giúp mình với!
cho △MNP vuông tại M có MH là đường cao và MN

Question

Giúp mình với!
cho △MNP vuông tại M có MH là đường cao và MN < MP . Trên tia đối của tia HM lấy điểm E sao cho MH=HE . Đường thẳng qua E song song với MN cắt MP , NP lần lượt tại I và K.
a) Chứng minh △NMH ~ △NPM
b) Chứng minh PI.MN=PK.HE
c) Biết MN=5 cm, NH=3 cm . Tính MN và HP
d) Gọi F là trung điểm của KP. Chứng minh △HFI ~ △MKI

bu-can-cookk-o-d · Accepted Answer

a, Xét $\displaystyle \vartriangle NMH$ vuông tại H và $\displaystyle \vartriangle NPM$ vuông tại M có:
$\displaystyle \widehat{MNP} :$góc chung
Do đó $\displaystyle \vartriangle NMH\backsim \vartriangle NPM$ (g.g)
b, Ta có: $\displaystyle \vartriangle NMH\backsim \vartriangle NPM\Longrightarrow \widehat{NMH} =\widehat{MPN}$ (2 góc tương ứng)
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{NMH} =\widehat{IPK}$
Ta có: $\displaystyle IK\parallel MN,\ MN\bot MP$
$\displaystyle \Longrightarrow IK\bot MP$ (quan hệ giữa vuông góc và song song)
Xét $\displaystyle \vartriangle MNH$ vuông tại H và $\displaystyle \vartriangle IKP$ vuông tại I có:
$\displaystyle \widehat{NMH} =\widehat{IPK}$
Do đó $\displaystyle \vartriangle MNH\backsim \vartriangle PKI$ (g.g)
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{MH}{PI} =\frac{MN}{PK} \Longrightarrow PI.MN=MH.PK$
$\displaystyle \Longrightarrow PI.MN=HE.PK$ (vì MH=HE)
c, Ta có: $\displaystyle \vartriangle NMH\backsim \vartriangle NPM\Longrightarrow \frac{MN}{NP} =\frac{HN}{MN}$
$\displaystyle \Longrightarrow MN^{2} =NP.NH\Longrightarrow 5^{2} =3.NP\Longrightarrow NP=\frac{25}{3} \ ( cm)$
Ta có: $\displaystyle HP=NP-NH=\frac{25}{3} -3=\frac{16}{3} \ ( cm)$

Timi · Answer

a) Ta có $	riangle NMH$ và $	riangle NPM$ có chung góc N.
Góc NMH và góc NMP là hai góc kề bù nên có tổng bằng 180°.
Góc NMP + góc MNP = 90° (vì tam giác MNP vuông tại M)
Do đó, góc NMH = góc MNP.
Vậy $	riangle NMH$ ~ $	riangle NPM$ (g.g)

b) Ta có $	riangle NMH$ ~ $	riangle NPM$ (chứng minh trên)
$\frac{MH}{PM} = \frac{MN}{NP}$ (tỉ số đồng dạng)
$\Rightarrow MH.NP = PM.MN$
Ta có $	riangle EIK$ và $	riangle MNK$ có:
- Góc IEK = góc NMK (hai góc so le trong)
- Góc IKP = góc MKP (chung)
Vậy $	riangle EIK$ ~ $	riangle MNK$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{EK}{NK} = \frac{IE}{KM} = \frac{KE}{KN}$ (tỉ số đồng dạng)
$\Rightarrow KE.NK = IE.KN$
$\Rightarrow PK.PN = PI.MN$
Mà $MH = HE$ (theo đề bài)
$\Rightarrow PK.HE = PI.MN$

c) Ta có $	riangle NMH$ ~ $	riangle NPM$ (chứng minh trên)
$\frac{NH}{NM} = \frac{NM}{NP}$ (tỉ số đồng dạng)
$\Rightarrow NM^2 = NH.NP$
$\Rightarrow NP = \frac{NM^2}{NH} = \frac{5^2}{3} = \frac{25}{3}$ (cm)
Ta có $	riangle NMH$ ~ $	riangle NPM$ (chứng minh trên)
$\frac{MH}{PM} = \frac{MN}{NP}$ (tỉ số đồng dạng)
$\Rightarrow MH = PM.\frac{MN}{NP}$
$\Rightarrow MH = (NP - MP).\frac{MN}{NP}$
$\Rightarrow MH = (\frac{25}{3} - 3).\frac{5}{\frac{25}{3}} = \frac{16}{5}$ (cm)

d) Ta có $	riangle EIK$ ~ $	riangle MNK$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \frac{IE}{KM} = \frac{KE}{KN}$ (tỉ số đồng dạng)
$\Rightarrow \frac{IE}{KM} = \frac{PK}{KN}$ (KE = PK)
$\Rightarrow \frac{IE}{KM} = \frac{PF}{FN}$ (F là trung điểm của KP)
$\Rightarrow \frac{IE}{KM} = \frac{IF}{FN}$ (PF = FN)
$\Rightarrow \frac{IF}{IE} = \frac{FN}{KM}$ (đảo tỉ số)
$\Rightarrow \frac{IF}{IE} = \frac{FN}{MK}$ (KM = MK)
Ta có $	riangle HFI$ và $	riangle MKI$ có:
- Góc IFH = góc MKI (hai góc so le trong)
- $\frac{IF}{IE} = \frac{FN}{MK}$ (chứng minh trên)
Vậy $	riangle HFI$ ~ $	riangle MKI$ (cạnh-góc-cạnh)

Giúp mình với! cho △MNP vuông tại M có MH là đường cao và MN < MP . Trên tia đối của tia HM lấy điểm E sao cho MH=HE . Đường thẳng qua E song song với MN cắt MP , NP lần lượt tại I và K. a) Chứng minh...