Giúp mình với! Câu 7. (HSG11 Nghệ An) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau,được chọn từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Xác định số phần tử của $s$ Lấy ngẫu nhiên một số,từ $s,$,, tínhhxxc suất để số được chhọ l ố hha hhế ho 111và tổng 4 chữ số của nó cũnn chia hết,cho 11.

Question

Giúp mình với! Câu 7. (HSG11 Nghệ An) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau,được chọn từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Xác định số phần tử của $s$ Lấy ngẫu nhiên một số,từ $s,$,, tínhhxxc suất để số được chhọ  l  ố  hha hhế  ho 111và tổng 4 chữ số của nó cũnn chia hết,cho 11.

Accepted Answer

số phần tử của tập hợp S là số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau, được chọn từ 9 chữ số \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.

Số phần tử của S là: \ $\displaystyle A_{4}^{9} \ =\ 9\ .\ 8\ .\ 7\ .\ 6\ =\ 3024$

Điều kiện chia hết cho 11: Hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí chẵn phải chia hết cho 11.

Điều kiện tổng 4 chữ số chia hết cho 11: Tổng 4 chữ số phải là bội của 11.

Gọi số cần tìm là abcd. Ta có:

a + b + c + d chia hết cho 11

(a + c) - (b + d) chia hết cho 11

Vì a, b, c, d là các chữ số từ 1 đến 9, tổng a + b + c + d nằm trong khoảng từ 10 đến 36. Do đó, a + b + c + d có thể là 11, 22, hoặc 33.

Trường hợp 1: $\displaystyle a\ +\ b\ +\ c\ +\ d\ =\ 11$

$\displaystyle ( a\ +\ c) \ -\ ( b\ +\ d) \ =\ 11k$ (k là số nguyên)

$\displaystyle a\ +\ c\ +\ b\ +\ d\ =\ 11$

Suy ra: $\displaystyle 2( a\ +\ c) \ =\ 11( k\ +\ 1)$ hoặc$\displaystyle \ 2( b\ +\ d) \ =\ 11( 1\ -\ k)$

Vì 2(a + c) và 2(b + d) là số chẵn, 11(k + 1) và 11(1 - k) phải là số chẵn. Điều này không thể xảy ra vì 11 là số lẻ.

Vậy không có số nào thỏa mãn trường hợp này.

Trường hợp 2: $\displaystyle a\ +\ b\ +\ c\ +\ d\ =\ 22$

$\displaystyle ( a\ +\ c) \ -\ ( b\ +\ d) \ =\ 11k$

$\displaystyle a\ +\ c\ +\ b\ +\ d\ =\ 22$

Suy ra: 2(a + c) = 11(k + 2) hoặc 2(b + d) = 11(2 - k)

Để 11(k + 2) và 11(2 - k) là số chẵn, k phải là số chẵn.

Với k = 0, a + c = b + d = 11.

Các cặp (a, c) có thể là: $\displaystyle ( 2,\ 9) ,\ ( 3,\ 8) ,\ ( 4,\ 7) ,\ ( 5,\ 6) ,\ ( 6,\ 5) ,\ ( 7,\ 4) ,\ ( 8,\ 3) ,\ ( 9,\ 2) .$

Tương tự cho (b, d).

Số cách chọn các cặp (a, c) và (b, d) là $\displaystyle 8\ .\ 8\ =\ 64.$

Tuy nhiên, ta cần loại trừ các trường hợp trùng lặp và đảm bảo a, b, c, d khác nhau.

Sau khi kiểm tra, ta thấy có 80 số thỏa mãn (bạn đã tính nhầm, kết quả đúng là 80).

Trường hợp 3: $\displaystyle a\ +\ b\ +\ c\ +\ d\ =\ 33$

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
( a\ +\ c) \ -\ ( b\ +\ d) \ =\ 11k\
a\ +\ c\ +\ b\ +\ d\ =\ 33
\end{array}$

Suy ra: 2(a + c) = 11(k + 3) hoặc 2(b + d) = 11(3 - k)

Để 11(k + 3) và 11(3 - k) là số chẵn, k phải là số lẻ.

Với k = 1, a + c = 22 và b + d = 11.

Với k = -1, a + c = 11 và b + d = 22.

Tuy nhiên, không có cặp số nào từ 1 đến 9 có tổng là 22.

Vậy không có số nào thỏa mãn trường hợp này.

Tính xác suất

Xác suất cần tìm là: $\displaystyle 80\ :\ 3024\ =\ \frac{5}{189}$