Cho hình hộp chữ nhật $\mathrm{ABCD} \cdot \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ có $\mathrm{AB}=\mathrm{AD}=\mathrm{a}, \mathrm{AA}^{\prime}=\mathrm{b}$. Gọi M là trung điểm của cạnh CC'.
a. Tính thể tích của khối tứ diện $\mathrm{BDA}^{\prime} \mathrm{M}$.
b. Tìm tỉ số $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ để $\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BD}\right) \perp(\mathrm{MBD})$

Question

Accepted Answer

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc $\mathrm{O} \equiv \mathrm{A}$, các tia $\mathrm{Ox}, \mathrm{Oy}, \mathrm{Oz}$ lần lượt đi qua các điểm $B, D, A^{\prime}$. Khi đó $A(0 ; 0 ; 0), B(a ; 0 ; 0)$,

$\mathrm{C}(\mathrm{a} ; \mathrm{a} ; 0), \mathrm{D}(0 ; \mathrm{a} ; 0), \mathrm{A}^{\prime}(0 ; 0 ; \mathrm{b}), \mathrm{C}^{\prime}(\mathrm{a} ; \mathrm{a} ; \mathrm{b}), \mathrm{M}\left(\mathrm{a} ; \mathrm{a} ; \frac{\mathrm{b}}{2} ight)$

a. Thể tích của khối tứ diện $\mathrm{BDA}^{\prime} \mathrm{M}$

$\mathrm{V}_{\mathrm{BDA}} \mathrm{M}^{\prime}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{\mathrm{BD}}, \overrightarrow{\mathrm{BM}}] \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}|$

$$
\begin{aligned}
& ext { với }\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{BD}=(-\mathrm{a} ; \mathrm{a} ; 0), \mathrm{BM}=\left(0 ; \mathrm{a} ; \frac{\mathrm{b}}{2} ight) \Rightarrow[\mathrm{BD}, \mathrm{BM}]=\left(\frac{\mathrm{ab}}{2} ; \frac{\mathrm{ab}}{2} ;-\mathrm{a}^2 ight) \
\overrightarrow{\mathrm{BA}^{\prime}}=(-\mathrm{a} ; 0 ; \mathrm{b}) \Rightarrow[\overrightarrow{\mathrm{BD}}, \overrightarrow{\mathrm{BM}}] \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}^{\prime}}=-\frac{3 \mathrm{a}^2 \mathrm{~b}}{2}
\end{array} ight. \
& ext { vậy } \left.\mathrm{V}_{\mathrm{BDA}}{ }^{\prime} \mathrm{M}=\frac{1}{6}[\overrightarrow{\mathrm{BD}}, \overrightarrow{\mathrm{BM}}] \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}^{\prime}} ight vert\,=\frac{\mathrm{a}^2 \mathrm{~b}}{4}
\end{aligned}
$$

b. Mặt phẳng $(\mathrm{BDM})$ có vec-tơ pháp tuyến là: $\mathrm{n}_1=[\mathrm{BD}, \mathrm{BM}]=\left(\frac{\mathrm{ab}}{2} ; \frac{\mathrm{ab}}{2} ;-\mathrm{a}^2 ight)$

Mặt phẳng $\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BD} ight)$ có vec-tơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{\mathrm{n}_2}=\left[\overrightarrow{\mathrm{BD}}, \overrightarrow{\mathrm{BA}^{\prime}} ight]=\left(\mathrm{ab} ; \mathrm{ab} ; \mathrm{a}^2 ight)$
Hai mặt phẳng ( BDM ) và ( $\left.\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BD} ight)$ vuông góc với nhau

$\Leftrightarrow \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}=0 \Leftrightarrow \frac{a^2 b^2}{2}+\frac{a^2 b^2}{2}-a^2=0 \Leftrightarrow a=b \Leftrightarrow \frac{a}{b}=1$

Cho hình hộp chữ nhật có . Gọi...