cho phương trình x^2-2(m-1)x+2m-8=0 với m là tham số tìm m đề phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện : (x1+1)^2 +2mx2=3m^2+4m
(sáng nay thi khảo sát bài này hoang mang quá mn ơi :(( )

Question

Accepted Answer

Để phương trình $x^2 - 2(m-1)x + 2m - 8 = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện:
$$ \Delta = [2(m-1)]^2 - 4(2m-8) > 0 $$
$$ 4(m-1)^2 - 8m + 32 > 0 $$
$$ 4(m^2 - 2m + 1) - 8m + 32 > 0 $$
$$ 4m^2 - 8m + 4 - 8m + 32 > 0 $$
$$ 4m^2 - 16m + 36 > 0 $$
$$ m^2 - 4m + 9 > 0 $$

Ta thấy rằng $m^2 - 4m + 9 = (m-2)^2 + 5 > 0$ luôn đúng với mọi $m$, do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo bài toán, ta có:
$$ (x_1 + 1)^2 + 2mx_2 = 3m^2 + 4m $$

Áp dụng định lý Vi-et:
$$ x_1 + x_2 = 2(m-1) $$
$$ x_1 x_2 = 2m - 8 $$

Thay vào biểu thức đã cho:
$$ (x_1 + 1)^2 + 2mx_2 = 3m^2 + 4m $$
$$ x_1^2 + 2x_1 + 1 + 2mx_2 = 3m^2 + 4m $$

Ta biết rằng $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2 - 2(m-1)x + 2m - 8 = 0$, nên:
$$ x_1^2 = 2(m-1)x_1 - 2m + 8 $$
$$ x_2^2 = 2(m-1)x_2 - 2m + 8 $$

Thay vào:
$$ 2(m-1)x_1 - 2m + 8 + 2x_1 + 1 + 2mx_2 = 3m^2 + 4m $$
$$ 2(m-1)x_1 + 2x_1 + 1 - 2m + 8 + 2mx_2 = 3m^2 + 4m $$
$$ 2mx_1 - 2x_1 + 2x_1 + 1 - 2m + 8 + 2mx_2 = 3m^2 + 4m $$
$$ 2mx_1 + 2mx_2 + 9 - 2m = 3m^2 + 4m $$
$$ 2m(x_1 + x_2) + 9 - 2m = 3m^2 + 4m $$
$$ 2m \cdot 2(m-1) + 9 - 2m = 3m^2 + 4m $$
$$ 4m(m-1) + 9 - 2m = 3m^2 + 4m $$
$$ 4m^2 - 4m + 9 - 2m = 3m^2 + 4m $$
$$ 4m^2 - 6m + 9 = 3m^2 + 4m $$
$$ m^2 - 10m + 9 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ m^2 - 10m + 9 = 0 $$
$$ (m-1)(m-9) = 0 $$

Vậy $m = 1$ hoặc $m = 9$.

Đáp số: $m = 1$ hoặc $m = 9$.

cho phương trình x^2-2(m-1)x+2m-8=0 với m là tham số tìm m đề phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện : (x1+1)^2 +2mx2=3m^2+4m (sáng nay thi khảo sát bài này hoang mang quá mn...