Trả lời đúng sai Câu 2. Cho hình H là một tam giác đều cạnh a. Người ta lần lượt thực hiện các bước như sau:,* Bước 1: Chia mỗi cạnh của hình H thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng,một tam giác đều nằm ngoài hình H, sau đó xóa bỏ đoạn ở giữa, ta được hình H, (tham khảo hình vẽ).,* Bước 2: Tiếp tục lặp lại quá trình trên với mỗi cạnh của hình H, ta được hình $H_2$,Sau nhiều bước thực hiện như trên, ta được một hình giống như bông tuyết, gọi là bóng tuyết lèm Koch, ,,, ,3*a) Độ dài mỗi cạnh của hình $B.$ là $\frac a3.$,2 b) Với mọi số tự nhiên $n\geq2$ thì độ dài mỗi cạnh của hình $H_{c+}$ gấp 3 lần độ dài mỗi cạnh của hình $B.$,$a_1,a_2,...,a_2,$ lần lượt là số cạnh của các hình $H_1,H_2,...H_2,...$ Khi đó, dãy số $a_1,a_2,...,a_0$ - theo thứ,5. 9 ọọi,tự lập thành một cấp số nhân có công bội $q=4.$,5 d) Chu vi của hình bông tuyết lon Koch $H_n$ lớn hơn 100 lần chu vi của hình H.,Câu 3. Giả sử số lượng của một quần thể vi sinh vật tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm (phụ,thuộc vào thời gian nuôi cấy) được mô hình hóa bằng hàm số $P(t)=\frac{25}{a+c^{2x}}.$ trong đó thời gian t được,tính bằng giờ, a là hệ số điều chỉnh mật độ vi sinh vật ban đầu. Biết rằng, tại thời điểm ban đầu $t=0$ quần,thể có 20 vi sinh vật.,a) Giá trị của a bằng 0,25.,b) Sau 2 giờ, quần thể có nhiều hơn 60 vi sinh vật. S,c) Với quy trình nuôi cấy theo mô hình trên thì số lượng vi khuẩn trong quần thể không lớn hơn 100. S,d) Để số lượng vi sinh vật trong quần thể lớn hơn 90 thì cần nuôi cấy ít nhất 6 giờ. $s$,Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, $AD//BC,~AD=2BC.$ Gọi O là giao điểm,của hai đường chéo AC và BD, điểm M là trung điểm của đoạn thẳng SC.,2 a) Đường thẳng AM nằm trong mặt phẳng (SAC).,Ở b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO.,S e) Giao điểm của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD) là giao điểm của AM và SO.,d) Gọi (a) là mặt phẳng chứa đường thẳng AM và song song với đường thẳng BD. Mặt phẳng (a) cắt,SB tại P. Khi đó $\frac{SP}{SB}=\frac23.~đ$,PHẦN III. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Cho cấp số cộng $(u_i)$ có $u_2=9$ và $u_1=17.$ Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho,bằng bao nhiêu?,Câu 2. Anh An gửi 100 triệu vào ngân hàng với kì hạn 1 năm và hướng lãi suất 5,4% /năm theo thể thức lãi

Question

Trả lời đúng sai Câu 2. Cho hình H là một tam giác đều cạnh a. Người ta lần lượt thực hiện các bước như sau:,* Bước 1: Chia mỗi cạnh của hình H thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng,một tam giác đều nằm ngoài hình H, sau đó xóa bỏ đoạn ở giữa, ta được hình H, (tham khảo hình vẽ).,* Bước 2: Tiếp tục lặp lại quá trình trên với mỗi cạnh của hình H, ta được hình $H_2$,Sau nhiều bước thực hiện như trên, ta được một hình giống như bông tuyết, gọi là bóng tuyết lèm Koch,

,

,3*a) Độ dài mỗi cạnh của hình $B.$ là $\frac a3.$,2 b) Với mọi số tự nhiên $n\geq2$ thì độ dài mỗi cạnh của hình $H_{c+}$ gấp 3 lần độ dài mỗi cạnh của hình $B.$,$a_1,a_2,...,a_2,$ lần lượt là số cạnh của các hình $H_1,H_2,...H_2,...$ Khi đó, dãy số $a_1,a_2,...,a_0$ - theo thứ,5. 9 ọọi,tự lập thành một cấp số nhân có công bội $q=4.$,5 d) Chu vi của hình bông tuyết lon Koch $H_n$ lớn hơn 100 lần chu vi của hình H.,Câu 3. Giả sử số lượng của một quần thể vi sinh vật tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm (phụ,thuộc vào thời gian nuôi cấy) được mô hình hóa bằng hàm số $P(t)=\frac{25}{a+c^{2x}}.$ trong đó thời gian t được,tính bằng giờ, a là hệ số điều chỉnh mật độ vi sinh vật ban đầu. Biết rằng, tại thời điểm ban đầu $t=0$ quần,thể có 20 vi sinh vật.,a) Giá trị của a bằng 0,25.,b) Sau 2 giờ, quần thể có nhiều hơn 60 vi sinh vật. S,c) Với quy trình nuôi cấy theo mô hình trên thì số lượng vi khuẩn trong quần thể không lớn hơn 100. S,d) Để số lượng vi sinh vật trong quần thể lớn hơn 90 thì cần nuôi cấy ít nhất 6 giờ. $s$,Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, $AD//BC,~AD=2BC.$ Gọi O là giao điểm,của hai đường chéo AC và BD, điểm M là trung điểm của đoạn thẳng SC.,2 a) Đường thẳng AM nằm trong mặt phẳng (SAC).,Ở b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO.,S e) Giao điểm của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD) là giao điểm của AM và SO.,d) Gọi (a) là mặt phẳng chứa đường thẳng AM và song song với đường thẳng BD. Mặt phẳng (a) cắt,SB tại P. Khi đó $\frac{SP}{SB}=\frac23.~đ$,PHẦN III. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Cho cấp số cộng $(u_i)$ có $u_2=9$ và $u_1=17.$ Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho,bằng bao nhiêu?,Câu 2. Anh An gửi 100 triệu vào ngân hàng với kì hạn 1 năm và hướng lãi suất 5,4% /năm theo thể thức lãi

Accepted Answer

Câu 2. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Phần a) Độ dài mỗi cạnh của hình $ H_1 $ là $\frac{a}{3}$. Lý do: - Ban đầu, mỗi cạnh của tam giác đều có độ dài $ a $. - Khi chia mỗi cạnh thành ba đoạn bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài $\frac{a}{3}$. Phần b) Với mọi số tự nhiên $ n \geq 2 $, độ dài mỗi cạnh của hình $ H_{n+1} $ gấp 3 lần độ dài mỗi cạnh của hình $ H_n $. Lý do: - Mỗi cạnh của $ H_n $ được chia thành ba đoạn bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài $\frac{a_n}{3}$. - Trên mỗi đoạn ở giữa, dựng một tam giác đều mới, sau đó xóa bỏ đoạn ở giữa, ta được 4 đoạn mới, mỗi đoạn có độ dài $\frac{a_n}{3}$. - Do đó, độ dài mỗi cạnh của $ H_{n+1} $ là $\frac{a_n}{3} \times 4 = \frac{4a_n}{3}$. Phần c) Dãy số $ a_1, a_2, ..., a_n $ lần lượt là số cạnh của các hình $ H_1, H_2, ..., H_n $. Khi đó, dãy số $ a_1, a_2, ..., a_n $ lập thành một cấp số nhân có công bội $ q = 4 $. Lý do: - Ban đầu, hình $ H $ có 3 cạnh. - Sau mỗi bước, mỗi cạnh của hình $ H_n $ được chia thành 4 cạnh mới. - Do đó, số cạnh của $ H_{n+1} $ là 4 lần số cạnh của $ H_n $. Phần d) Chu vi của hình bông tuyết lông Koch $ H_n $ lớn hơn 100 lần chu vi của hình $ H $. Lý do: - Chu vi ban đầu của hình $ H $ là $ 3a $. - Sau mỗi bước, số cạnh tăng lên 4 lần và độ dài mỗi cạnh giảm đi 3 lần. - Chu vi của $ H_n $ là $ 3a \times \left( \frac{4}{3} \right)^n $. Ta cần tìm $ n $ sao cho: $$ 3a \times \left( \frac{4}{3} \right)^n > 100 \times 3a $$ $$ \left( \frac{4}{3} \right)^n > 100 $$ Lấy logarit cả hai vế: $$ n \log \left( \frac{4}{3} \right) > \log 100 $$ $$ n > \frac{\log 100}{\log \left( \frac{4}{3} \right)} $$ $$ n > \frac{2}{\log 4 - \log 3} $$ $$ n > \frac{2}{0.6021 - 0.4771} $$ $$ n > \frac{2}{0.125} $$ $$ n > 16 $$ Do đó, $ n \geq 17 $. Kết luận Để chu vi của hình bông tuyết lông Koch $ H_n $ lớn hơn 100 lần chu vi của hình $ H $, ta cần ít nhất $ n = 17 $. Câu 3. Để giải quyết các yêu cầu của đề bài, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Giá trị của a bằng 0,25 Biết rằng tại thời điểm ban đầu $ t = 0 $, quần thể có 20 vi sinh vật. Ta thay $ t = 0 $ vào hàm số $ P(t) $: $$ P(0) = \frac{25}{a + c^0} = \frac{25}{a + 1} $$ Theo đề bài, $ P(0) = 20 $. Do đó: $$ \frac{25}{a + 1} = 20 $$ Giải phương trình này để tìm $ a $: $$ 25 = 20(a + 1) $$ $$ 25 = 20a + 20 $$ $$ 25 - 20 = 20a $$ $$ 5 = 20a $$ $$ a = \frac{5}{20} = 0,25 $$ Vậy giá trị của $ a $ là 0,25. b) Sau 2 giờ, quần thể có nhiều hơn 60 vi sinh vật Thay $ t = 2 $ vào hàm số $ P(t) $: $$ P(2) = \frac{25}{0,25 + c^2} $$ Theo đề bài, sau 2 giờ quần thể có nhiều hơn 60 vi sinh vật: $$ \frac{25}{0,25 + c^2} > 60 $$ Giải bất phương trình này: $$ 25 > 60(0,25 + c^2) $$ $$ 25 > 15 + 60c^2 $$ $$ 25 - 15 > 60c^2 $$ $$ 10 > 60c^2 $$ $$ \frac{10}{60} > c^2 $$ $$ \frac{1}{6} > c^2 $$ $$ c^2 < \frac{1}{6} $$ Do đó, $ c $ phải thỏa mãn điều kiện $ c^2 < \frac{1}{6} $. c) Với quy trình nuôi cấy theo mô hình trên thì số lượng vi khuẩn trong quần thể không lớn hơn 100 Ta cần kiểm tra giới hạn của hàm số $ P(t) $: $$ P(t) = \frac{25}{0,25 + c^{2t}} $$ Khi $ t \to \infty $, $ c^{2t} \to 0 $ (vì $ 0 < c < 1 $): $$ P(t) \to \frac{25}{0,25 + 0} = \frac{25}{0,25} = 100 $$ Vậy số lượng vi khuẩn trong quần thể không lớn hơn 100. d) Để số lượng vi sinh vật trong quần thể lớn hơn 90 thì cần nuôi cấy ít nhất 6 giờ Ta cần giải bất phương trình: $$ \frac{25}{0,25 + c^{2t}} > 90 $$ Giải bất phương trình này: $$ 25 > 90(0,25 + c^{2t}) $$ $$ 25 > 22,5 + 90c^{2t} $$ $$ 25 - 22,5 > 90c^{2t} $$ $$ 2,5 > 90c^{2t} $$ $$ \frac{2,5}{90} > c^{2t} $$ $$ \frac{1}{36} > c^{2t} $$ $$ c^{2t} < \frac{1}{36} $$ Lấy logarit hai vế: $$ 2t \log(c) < \log\left(\frac{1}{36}\right) $$ $$ 2t \log(c) < -\log(36) $$ $$ t > \frac{-\log(36)}{2 \log(c)} $$ Vì $ \log(c) < 0 $ (do $ 0 < c < 1 $), ta có: $$ t > \frac{\log(36)}{-2 \log(c)} $$ Để $ t \geq 6 $, ta cần: $$ \frac{\log(36)}{-2 \log(c)} \leq 6 $$ $$ \log(36) \geq -12 \log(c) $$ $$ \log(36) \geq \log(c^{-12}) $$ $$ 36 \geq c^{-12} $$ $$ c^{12} \geq \frac{1}{36} $$ Do đó, $ c $ phải thỏa mãn điều kiện $ c^{12} \geq \frac{1}{36} $. Kết luận: - Giá trị của $ a $ là 0,25. - Sau 2 giờ, quần thể có nhiều hơn 60 vi sinh vật nếu $ c^2 < \frac{1}{6} $. - Số lượng vi khuẩn trong quần thể không lớn hơn 100. - Để số lượng vi sinh vật trong quần thể lớn hơn 90 thì cần nuôi cấy ít nhất 6 giờ nếu $ c^{12} \geq \frac{1}{36} $. Câu 4. a) Đường thẳng AM nằm trong mặt phẳng (SAC). - Vì M là trung điểm của SC nên M thuộc mặt phẳng (SAC). - A cũng thuộc mặt phẳng (SAC). - Vậy đường thẳng AM nằm trong mặt phẳng (SAC). b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO. - Giao điểm của AC và BD là O. - S thuộc cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). - Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO. c) Giao điểm của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD) là giao điểm của AM và SO. - AM nằm trong mặt phẳng (SAC). - Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO. - Vậy giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD) là giao điểm của AM và SO. d) Gọi (α) là mặt phẳng chứa đường thẳng AM và song song với đường thẳng BD. Mặt phẳng (α) cắt SB tại P. Khi đó $\frac{SP}{SB}=\frac{2}{3}$. - Vì (α) chứa AM và song song với BD, nên (α) cắt SB tại P. - Ta có $\frac{SP}{SB} = \frac{SM}{SC}$ vì (α) song song với BD và cắt SB tại P. - M là trung điểm của SC, nên SM = $\frac{1}{2}$SC. - Vậy $\frac{SP}{SB} = \frac{\frac{1}{2}SC}{SC} = \frac{1}{2}$. Tuy nhiên, theo đề bài, $\frac{SP}{SB} = \frac{2}{3}$. Điều này có thể do lỗi trong đề bài hoặc do hiểu sai ý nghĩa của câu hỏi. Câu 1. Cấp số cộng $(u_i)$ có $u_2=9$ và $u_1=17$. Ta cần tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này. Bước 1: Xác định công sai của cấp số cộng. Công sai $d$ của cấp số cộng được tính bằng cách lấy số hạng thứ hai trừ đi số hạng thứ nhất: $$ d = u_2 - u_1 = 9 - 17 = -8 $$ Bước 2: Xác định số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $u_1 = 17$. Bước 3: Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: $$ S_n = \frac{n}{2} \left( 2u_1 + (n-1)d \right) $$ Trong đó, $n$ là số lượng số hạng, $u_1$ là số hạng đầu tiên, và $d$ là công sai. Áp dụng vào bài toán: $$ S_{20} = \frac{20}{2} \left( 2 \cdot 17 + (20-1)(-8) \right) $$ $$ S_{20} = 10 \left( 34 + 19(-8) \right) $$ $$ S_{20} = 10 \left( 34 - 152 \right) $$ $$ S_{20} = 10 \left( -118 \right) $$ $$ S_{20} = -1180 $$ Vậy tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là $-1180$. Câu 2. Để tính số tiền lãi và tổng số tiền An nhận được sau 1 năm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính số tiền lãi: - Số tiền gốc gửi vào ngân hàng là 100 triệu đồng. - Lãi suất theo thể thức lãi là 5,4% /năm. Số tiền lãi sau 1 năm được tính bằng công thức: $$ \text{Số tiền lãi} = \text{Số tiền gốc} \times \frac{\text{Lãi suất}}{100} $$ Thay số vào công thức: $$ \text{Số tiền lãi} = 100 \times \frac{5,4}{100} = 100 \times 0,054 = 5,4 \text{ triệu đồng} $$ 2. Tính tổng số tiền nhận được sau 1 năm: - Tổng số tiền nhận được sau 1 năm bao gồm cả số tiền gốc và số tiền lãi. $$ \text{Tổng số tiền nhận được} = \text{Số tiền gốc} + \text{Số tiền lãi} $$ Thay số vào công thức: $$ \text{Tổng số tiền nhận được} = 100 + 5,4 = 105,4 \text{ triệu đồng} $$ Kết luận: - Số tiền lãi sau 1 năm là 5,4 triệu đồng. - Tổng số tiền An nhận được sau 1 năm là 105,4 triệu đồng.