giải chi tiết

Bài 1: 1. Rút gọn biểu thức $$ Ta có: $$ $$ $$ 2. Với các số thực x, y, z thỏa mãn $$ và $$ Tính giá trị của biểu thức $$. Ta có: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Từ đây ta có $$ hoặc $$ Tương tự ta có $$ hoặc $$ $$ hoặc $$ Mặt khác ta có $$ nên trong ba số x, y, z phải có đúng một số bằng 1. Giả sử $$ thì $$ Thay vào ta có $$ Từ đây suy ra $$ Thay vào ta có $$ $$ Từ đây ta có $$ Vậy ta có $$ Do đó $$ Bài 2: 1. Ta có: $$ Nhận thấy rằng mỗi phân số có dạng $$ với $$ chạy từ 1 đến 2025. Ta có thể viết lại tổng này dưới dạng: $$ Nhóm các hạng tử theo x: $$ Ta nhận thấy rằng: $$ Do đó: $$ Tổng các số hạng trong ngoặc đơn là: $$ Vậy ta có: $$ $$ $$ 2. Diện tích một viên gạch hình bát giác đều: $$ Diện tích 500 viên gạch hình bát giác đều: $$ Diện tích một viên gạch hình vuông hoặc tam giác vuông cân: $$ Diện tích một viên gạch tam giác vuông cân: $$ Diện tích phần sân vườn được lát bởi những viên gạch không phải là hình bát giác đều: $$ Đáp số: 1. $$ 2. Diện tích phần sân vườn được lát bởi những viên gạch không phải là hình bát giác đều là 0 dm². Bài 3: 1. Ta có: $$ $$ $$ $$ Vì $$ và $$ đều là số lẻ nên $$ là số lẻ suy ra $$ hoặc $$ - Nếu $$ thì $$. Thay vào ta có $$ suy ra $$ hoặc $$ - Nếu $$ thì $$. Thay vào ta có $$ suy ra $$ hoặc $$ Vậy các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là $$ và $$ 2. Ta có: $$ Ta sẽ chứng minh $$ và $$ có cùng số dư khi chia cho 11. Thật vậy, $$ Mà $$ chia hết cho 11 nên $$ và $$ có cùng số dư khi chia cho 11. Nếu cả hai số $$ và $$ đều chia hết cho 11 thì $$ chia hết cho 11. Nếu cả hai số $$ và $$ đều không chia hết cho 11 thì cả hai số này đều có số dư là 1 khi chia cho 11. Suy ra $$ và $$ (k, l là số tự nhiên) Như vậy $$ không chia hết cho 11 (loại) Vậy $$ chia hết cho 11. Bài 4: 1. a) Ta có: $$ là hình bình hành nên $$ và $$. Hình chiếu của $$ trên $$ là $$, do đó $$ vuông góc với $$. Vì $$ là trung điểm của $$, nên $$ nằm trên đường thẳng qua $$ và vuông góc với $$. Do đó, $$ cũng nằm trên đường thẳng qua $$ và vuông góc với $$. Vậy $$ là hình thang cân vì $$ và $$. b) Ta có: $$ là giao điểm của $$ và $$, $$ là hình chiếu của $$ trên $$, $$ là trung điểm của $$. Vì $$ là trung điểm của $$, nên $$ vuông góc với $$. 2. Ta có: $$ là hình vuông nên $$ và $$. Tia phân giác của $$ cắt $$ tại $$. Ta cần chứng minh rằng $$. Ta có: $$ (vì tia phân giác của $$ cắt $$ tại $$). $$. Vì $$, nên $$. Ta có: $$. Vì $$, nên $$. Vậy $$. Bài 5: 1. Xác suất của biến cố: "Bạn Tú lấy được 1 chiếc bút chì và 1 chiếc bút mực". Tổng số bút trong hộp là: $$ Số cách chọn ngẫu nhiên 2 chiếc bút từ 15 chiếc bút là: $$ Số cách chọn 1 chiếc bút chì và 1 chiếc bút mực là: $$ Xác suất của biến cố "Bạn Tú lấy được 1 chiếc bút chì và 1 chiếc bút mực" là: $$ 2. Chứng minh rằng nếu $$ là các số dương thỏa mãn $$, thì $$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba số $$: $$ $$ $$ Vậy ta đã chứng minh được $$.