Giải hộ mình câu này với các bạn Câu 9. (3,0 điểm) Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, đường cao AH.,a) Biết $AB=6~cm,~BC=10~cm.$ Tính AC?,b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AH và HC . Chứng minh $\Delta HMN\bot\Delta ABC.$,c) BM cắt AN tại K Chứng minh: $4MB.MK=AH^2.$

Question

Giải hộ mình câu này với các bạn Câu 9. (3,0 điểm) Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, đường cao AH.,a) Biết $AB=6~cm,~BC=10~cm.$ Tính AC?,b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AH và HC . Chứng minh $\Delta HMN\bot\Delta ABC.$,c) BM cắt AN tại K  Chứng minh: $4MB.MK=AH^2.$

Accepted Answer

a)
Tam giác ABC vuông tại A, theo Pytago, có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
AB^{2} +AC^{2} =BC^{2}\
\Longrightarrow AC=\sqrt{BC^{2} -AB^{2}} =\sqrt{10^{2} -6^{2}} =\sqrt{64} =8( cm)
\end{array}$
b)
Xét tam giác AHC, có:
M là trung điểm AH
N là trung điểm HC
⟹ MN là đường trung bình của tam giác AHC
⟹ MN//AC
⟹ $\displaystyle riangle HMN\backsim riangle HAC$
c)
Có: MN//AC mà AC$\displaystyle \bot $AB ⟹ MN$\displaystyle \bot $AB
Xét tam giác ABN, có:
MN$\displaystyle \bot $AB
MA$\displaystyle \bot $BN
⟹ M là trực tâm của tam giác ABN
⟹ BM$\displaystyle \bot $AN hay BK$\displaystyle \bot $AN tại M ⟹ $\displaystyle \widehat{MKA} =90^{0}$
Xét $\displaystyle riangle MAK$ và $\displaystyle riangle MBH$, có:
$\displaystyle \widehat{AMK} =\widehat{BMH}$ (đối đỉnh)
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{MKA} =\widehat{MHB} =90^{0}\
\Longrightarrow riangle MAK\backsim riangle MBH\
\Longrightarrow \frac{MA}{MB} =\frac{MK}{MH}\
\Longrightarrow MK.MB=MA.MH\
\Longrightarrow MK.MB=\left(\frac{AH}{2} ight)^{2} \ \left( MA=MH=\frac{AH}{2} ight)\
\Longrightarrow 4MK.MB=AH^{2}
\end{array}$