Đa thức P(x) chia cho đa thức x - 3 dư 5, P(x) chia cho đa thức x-2 dư 6. Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức P(x) : (x² - 5x + 6)

Question

Accepted Answer

Ta có :
$\displaystyle x^{2} \ -\ 5x\ +\ 6\ =\ ( x-2)( x-3)$
Theo bài ra ta có :
$\displaystyle \begin{cases}
P( x) \ =\ ( x-3) .y( x) \ +5 & \
P( x) \ =\ ( x-2) .c( x) \ +6 & \
P( x) \ =\ ( x-2)( x+3) \ +ax+b &
\end{cases}$
Trong đó :
$\displaystyle y( x) ,\ c( x)$ là thương của P(x) với $\displaystyle x-2;\ x\ -\ 3$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\begin{cases}
P( x) \ =\ ( x-3) .y( x) \ +5 & \
P( x) \ =\ ( x-2)( x+3) \ +ax+b &
\end{cases}\
ightarrow \begin{cases}
P( 3) \ =\ 5 & \
P( 3) \ =3a+b &
\end{cases}\
ightarrow 3a+b=5\ ( 1)\
\begin{cases}
P( x) \ =\ ( x-2) .c( x) \ +6 & \
P( x) \ =\ ( x-2)( x+3) \ +ax+b &
\end{cases}\
ightarrow \begin{cases}
P( 2) \ =\ 6 & \
P( 2) \ =\ 2a+b &
\end{cases}\
ightarrow 2a+b=6( 2)
\end{array}$
Lấy (2) - (1) suy ra :
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
-a\ =\ 1\ \
ightarrow a\ =-1\
\end{array}$
$\displaystyle ightarrow b\ =\ 8\ $
Vậy P(x) chia dư $\displaystyle x^{2} \ -\ 5x\ +\ 6\ $được -x + 8