Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tính GTNN: P = x(2x + z) + y(6y + z)

Để tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x(2x + z) + y(6y + z) \) với điều kiện \( x + y + z = 3 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Biểu thức \( P \) được viết lại dưới dạng: \[ P = x(2x + z) + y(6y + z) \] \[ P = 2x^2 + xz + 6y^2 + yz \] Bước 2: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( z \): \[ P = 2x^2 + 6y^2 + z(x + y) \] Bước 3: Thay \( z = 3 - x - y \) vào biểu thức trên: \[ P = 2x^2 + 6y^2 + (3 - x - y)(x + y) \] \[ P = 2x^2 + 6y^2 + 3(x + y) - (x + y)^2 \] \[ P = 2x^2 + 6y^2 + 3x + 3y - x^2 - 2xy - y^2 \] \[ P = x^2 + 5y^2 - 2xy + 3x + 3y \] Bước 4: Ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này bằng cách sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương: \[ P = x^2 + 5y^2 - 2xy + 3x + 3y \] Bước 5: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \): \[ P = (x^2 - 2xy + y^2) + 4y^2 + 3x + 3y \] \[ P = (x - y)^2 + 4y^2 + 3x + 3y \] Bước 6: Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của \( x \) và \( y \) sao cho các bình phương và các hạng tử còn lại đều nhỏ nhất. Ta thấy rằng: \[ (x - y)^2 \geq 0 \] \[ 4y^2 \geq 0 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( P \) sẽ xảy ra khi \( (x - y)^2 = 0 \) và \( 4y^2 = 0 \), tức là \( x = y \) và \( y = 0 \). Từ đó ta có \( x = 0 \) và \( z = 3 \). Bước 7: Thay \( x = 0 \), \( y = 0 \), và \( z = 3 \) vào biểu thức \( P \): \[ P = 0(2 \cdot 0 + 3) + 0(6 \cdot 0 + 3) \] \[ P = 0 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là 0, đạt được khi \( x = 0 \), \( y = 0 \), và \( z = 3 \). Đáp số: \( P_{min} = 0 \) khi \( x = 0 \), \( y = 0 \), và \( z = 3 \).