Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tính GTNN: P = x(2x + z) + y(6y + z)

Để tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$ với điều kiện $$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Biểu thức $$ được viết lại dưới dạng: $$ $$ Bước 2: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $$: $$ Bước 3: Thay $$ vào biểu thức trên: $$ $$ $$ $$ Bước 4: Ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này bằng cách sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương: $$ Bước 5: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $$ và $$: $$ $$ Bước 6: Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của $$ và $$ sao cho các bình phương và các hạng tử còn lại đều nhỏ nhất. Ta thấy rằng: $$ $$ Do đó, giá trị nhỏ nhất của $$ sẽ xảy ra khi $$ và $$, tức là $$ và $$. Từ đó ta có $$ và $$. Bước 7: Thay $$, $$, và $$ vào biểu thức $$: $$ $$ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$ là 0, đạt được khi $$, $$, và $$. Đáp số: $$ khi $$, $$, và $$.