cho các số a b c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1 chứng minh rằng

Để chứng minh rằng $\frac {ab}{a^2+b^2}+\frac {bc}{b^2+c^2}+\frac {ca}{c^2+a^2}+\frac14(\frac 1a+\frac1b+\frac1c)\geq\frac{15}4$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Chứng minh rằng $\frac {ab}{a^2+b^2} \leq \frac{1}{2}$ Ta có: \[ a^2 + b^2 \geq 2ab \] Do đó: \[ \frac{ab}{a^2 + b^2} \leq \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2} \] Tương tự, ta cũng có: \[ \frac{bc}{b^2 + c^2} \leq \frac{1}{2} \] \[ \frac{ca}{c^2 + a^2} \leq \frac{1}{2} \] Bước 2: Chứng minh rằng $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9$ Áp dụng bất đẳng thức AM-HM (trung bình cộng - trung bình調和): \[ \frac{a + b + c}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \] Vì $a + b + c = 1$, ta có: \[ \frac{1}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \] \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 \] Bước 3: Kết hợp các kết quả trên Ta có: \[ \frac{ab}{a^2 + b^2} + \frac{bc}{b^2 + c^2} + \frac{ca}{c^2 + a^2} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] Và: \[ \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq \frac{1}{4} \times 9 = \frac{9}{4} \] Do đó: \[ \frac{ab}{a^2 + b^2} + \frac{bc}{b^2 + c^2} + \frac{ca}{c^2 + a^2} + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq \frac{3}{2} + \frac{9}{4} = \frac{6}{4} + \frac{9}{4} = \frac{15}{4} \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ \frac{ab}{a^2 + b^2} + \frac{bc}{b^2 + c^2} + \frac{ca}{c^2 + a^2} + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq \frac{15}{4} \] Đáp số: $\frac{15}{4}$