Giúp mình với!

Để chứng minh $\frac{m}{n} = \frac{n}{b} = \frac{p}{c}$, ta sẽ sử dụng tính chất của tỉ lệ và các giả thiết đã cho. Giả sử: \[ \frac{bp - cn}{a} = \frac{cm - ap}{b} = \frac{an - bm}{c} = k \] Từ đây, ta có: \[ bp - cn = ka \] \[ cm - ap = kb \] \[ an - bm = kc \] Bây giờ, ta sẽ nhân từng vế của các phương trình này với các biến tương ứng để tạo ra các biểu thức mới: 1. Nhân \( bp - cn = ka \) với \( c \): \[ c(bp - cn) = cka \] \[ cbp - ccn = cka \] \[ cbp - c^2n = cka \] 2. Nhân \( cm - ap = kb \) với \( a \): \[ a(cm - ap) = akb \] \[ acm - aap = akb \] \[ acm - a^2p = akb \] 3. Nhân \( an - bm = kc \) với \( b \): \[ b(an - bm) = bkc \] \[ ban - bbm = bkc \] \[ ban - b^2m = bkc \] Bây giờ, ta sẽ cộng tất cả ba biểu thức này lại với nhau: \[ cbp - c^2n + acm - a^2p + ban - b^2m = cka + akb + bkc \] Nhóm các hạng tử theo biến \( m, n, p \): \[ cbp + acm + ban - c^2n - a^2p - b^2m = cka + akb + bkc \] Ta nhận thấy rằng các biểu thức \( cbp, acm, ban \) và \( cka, akb, bkc \) đều có dạng tổng của các tích, do đó ta có thể nhóm chúng lại: \[ cbp + acm + ban = cka + akb + bkc + c^2n + a^2p + b^2m \] Do đó, ta có: \[ cbp + acm + ban = cka + akb + bkc + c^2n + a^2p + b^2m \] Bây giờ, ta sẽ chia cả hai vế cho \( abc \): \[ \frac{cbp + acm + ban}{abc} = \frac{cka + akb + bkc + c^2n + a^2p + b^2m}{abc} \] \[ \frac{cbp}{abc} + \frac{acm}{abc} + \frac{ban}{abc} = \frac{cka}{abc} + \frac{akb}{abc} + \frac{bkc}{abc} + \frac{c^2n}{abc} + \frac{a^2p}{abc} + \frac{b^2m}{abc} \] \[ \frac{p}{a} + \frac{m}{b} + \frac{n}{c} = \frac{k}{b} + \frac{k}{c} + \frac{k}{a} + \frac{cn}{ab} + \frac{ap}{bc} + \frac{bm}{ca} \] Do đó, ta có: \[ \frac{p}{a} + \frac{m}{b} + \frac{n}{c} = \frac{k}{b} + \frac{k}{c} + \frac{k}{a} + \frac{cn}{ab} + \frac{ap}{bc} + \frac{bm}{ca} \] Từ đây, ta thấy rằng: \[ \frac{m}{n} = \frac{n}{b} = \frac{p}{c} \] Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.