Rvvvvvsđvvdvdvđv

Câu 11. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \log_2 x \), ta cần đảm bảo rằng đối số của hàm logarit phải dương. Cụ thể: - Hàm số \( y = \log_2 x \) được xác định khi \( x > 0 \). Do đó, tập xác định của hàm số \( y = \log_2 x \) là \( (0; +\infty) \). Vậy đáp án đúng là: B. \( (0; +\infty) \). Câu 12. Để xác định góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy của hình chóp S.ABC, ta cần tìm góc giữa đường thẳng SB và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đáy. Trước tiên, ta nhận thấy rằng SA vuông góc với đáy, do đó SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong đáy. Điều này có nghĩa là SA vuông góc với AB, AC và BC. Hình chiếu của SB lên mặt phẳng đáy là đường thẳng từ B kéo dài xuống đáy, tức là đường thẳng BA. Vậy góc giữa SB và mặt phẳng đáy chính là góc giữa SB và BA. Do đó, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng SB và AB. Đáp án đúng là: A. SB và AB. Câu 1. Để giải quyết các yêu cầu trong đề bài, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a: Tính thể tích của lăng trụ đứng ABC.A'B'C' Bước 1: Xác định diện tích đáy ABC - Tam giác ABC là tam giác vuông tại A với BC = 2a và $\widehat{ABC} = 30^\circ$. - Ta có AB = BC $\cdot$ cos(30°) = 2a $\cdot$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = a$\sqrt{3}$. - AC = BC $\cdot$ sin(30°) = 2a $\cdot$ $\frac{1}{2}$ = a. - Diện tích đáy S$_{\Delta ABC}$ = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ AB $\cdot$ AC = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ a$\sqrt{3}$ $\cdot$ a = $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Bước 2: Xác định chiều cao của lăng trụ - Chiều cao AA' = 2a$\sqrt{3}$. Bước 3: Tính thể tích của lăng trụ - Thể tích V$_{ABC.A'B'C'}$ = AA' $\cdot$ S$_{\Delta ABC}$ = 2a$\sqrt{3}$ $\cdot$ $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$ = 3a$^3$. Phần b: Tính thể tích của lăng trụ $ABC.A^\prime B^\prime C^\prime$ Thể tích của lăng trụ $ABC.A^\prime B^\prime C^\prime$ đã được tính ở phần a là 3a$^3$. Phần e: Tính thể tích của khối chóp G.BCNM Bước 1: Xác định diện tích đáy của khối chóp G.BCNM - G là trọng tâm của tam giác ACA', do đó diện tích tam giác AGC = $\frac{1}{3}$ $\cdot$ S$_{\Delta ACA'}$. - S$_{\Delta ACA'}$ = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ AC $\cdot$ AA' = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ a $\cdot$ 2a$\sqrt{3}$ = a$^2$\sqrt{3}$. - S$_{\Delta AGC}$ = $\frac{1}{3}$ $\cdot$ a$^2$\sqrt{3}$ = $\frac{a^2\sqrt{3}}{3}$. Bước 2: Xác định chiều cao của khối chóp G.BCNM - Chiều cao từ G đến mặt phẳng (BCNM) là $\frac{2}{3}$ $\cdot$ AA' = $\frac{2}{3}$ $\cdot$ 2a$\sqrt{3}$ = $\frac{4a\sqrt{3}}{3}$. Bước 3: Tính thể tích của khối chóp G.BCNM - Thể tích V$_{G.BCNM}$ = $\frac{1}{3}$ $\cdot$ S$_{\Delta AGC}$ $\cdot$ Chiều cao = $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $\frac{a^2\sqrt{3}}{3}$ $\cdot$ $\frac{4a\sqrt{3}}{3}$ = $\frac{4a^3}{9}$. Phần d: Tính thể tích của khối chóp A.BCC'B' Bước 1: Xác định diện tích đáy của khối chóp A.BCC'B' - Diện tích đáy S$_{\Delta BCC'}$ = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ BC $\cdot$ CC' = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 2a $\cdot$ 2a$\sqrt{3}$ = 2a$^2$\sqrt{3}$. Bước 2: Xác định chiều cao của khối chóp A.BCC'B' - Chiều cao từ A đến mặt phẳng (BCC'B') là AC = a. Bước 3: Tính thể tích của khối chóp A.BCC'B' - Thể tích V$_{A.BCC'B'}$ = $\frac{1}{3}$ $\cdot$ S$_{\Delta BCC'}$ $\cdot$ Chiều cao = $\frac{1}{3}$ $\cdot$ 2a$^2$\sqrt{3}$ $\cdot$ a = $\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$. Kết luận: - Thể tích của lăng trụ ABC.A'B'C' là 3a$^3$. - Thể tích của khối chóp G.BCNM là $\frac{4a^3}{9}$. - Thể tích của khối chóp A.BCC'B' là $\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$. Câu 2. a) Đồ thị của hàm số $f(x)=2^x$ và $g(x)=\log_2x$ như sau: Đồ thị của $f(x)=2^x$ là đường cong tăng dần từ trái sang phải, đi qua điểm $(0,1)$ và tiếp cận với trục hoành khi $x$ giảm vô cùng. Đồ thị của $g(x)=\log_2x$ là đường cong tăng dần từ trái sang phải, đi qua điểm $(1,0)$ và tiếp cận với trục tung khi $x$ tiến đến 0. b) Tập xác định của hàm số $f(x)=2^x$ là $D=\mathbb R$. c) Đường thẳng $x=1$ cắt đồ thị của $f(x)$ tại điểm $A(1,2)$ và cắt đồ thị của $g(x)$ tại điểm $B(1,0)$. Đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị của $f(x)$ tại điểm $C(0,1)$ và cắt đồ thị của $g(x)$ tại điểm $D(2,1)$. Diện tích hình ACBD là: \[ S = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times AD = \frac{1}{2} \times (2 - 0 + 2 - 1) \times (1 - 0) = \frac{1}{2} \times 3 \times 1 = \frac{3}{2} \] d) Hàm số $g(x)=\log_2x$ đồng biến trên khoảng $(0,+\infty)$. Đáp số: a) Đồ thị của $f(x)=2^x$ và $g(x)=\log_2x$. b) $D=\mathbb R$. c) Diện tích hình ACBD là $\frac{3}{2}$ (đvdt). d) Hàm số $g(x)$ đồng biến trên $(0,+\infty)$. Câu 1. Để tìm số nghiệm của phương trình $2^{x^2-x}=1$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình đã cho là $2^{x^2-x}=1$. Ta thấy rằng $2^{x^2-x}$ luôn luôn có nghĩa với mọi giá trị của $x$ vì nó là một lũy thừa của số dương. Do đó, ĐKXĐ là $x \in \mathbb{R}$. Bước 2: Giải phương trình - Ta nhận thấy rằng $2^{x^2-x}=1$ có thể viết lại dưới dạng $2^{x^2-x}=2^0$. - Từ đây, ta suy ra $x^2 - x = 0$. Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai - Phương trình $x^2 - x = 0$ có thể được phân tích thành $x(x - 1) = 0$. - Do đó, ta có hai nghiệm là: + $x = 0$ + $x = 1$ Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định - Các nghiệm $x = 0$ và $x = 1$ đều thỏa mãn ĐKXĐ $x \in \mathbb{R}$. Bước 5: Kết luận - Số nghiệm của phương trình $2^{x^2-x}=1$ là 2 nghiệm: $x = 0$ hoặc $x = 1$. Vậy phương trình $2^{x^2-x}=1$ có 2 nghiệm là $x = 0$ và $x = 1$. Câu 2. Để tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAC), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích tam giác SAC: - Ta biết rằng \( SC = 2\sqrt{5} \). - Mặt phẳng (SAB) và (SBC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Do đó, \( SA \perp AB \) và \( SB \perp BC \). - Vì ABCD là hình vuông cạnh 2, nên \( AB = BC = 2 \). - Xét tam giác SAB vuông tại A, ta có: \[ SA^2 + AB^2 = SB^2 \] \[ SA^2 + 2^2 = SB^2 \] \[ SA^2 + 4 = SB^2 \] - Xét tam giác SBC vuông tại B, ta có: \[ SB^2 + BC^2 = SC^2 \] \[ SB^2 + 2^2 = (2\sqrt{5})^2 \] \[ SB^2 + 4 = 20 \] \[ SB^2 = 16 \] \[ SB = 4 \] - Thay \( SB = 4 \) vào phương trình \( SA^2 + 4 = 16 \): \[ SA^2 + 4 = 16 \] \[ SA^2 = 12 \] \[ SA = 2\sqrt{3} \] - Diện tích tam giác SAC: \[ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times SA \times AC \] \[ AC = 2\sqrt{2} \] (vì ABCD là hình vuông cạnh 2) \[ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{2} = 2\sqrt{6} \] 2. Tính thể tích khối chóp SABCD: - Thể tích khối chóp SABCD: \[ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA \] \[ S_{ABCD} = 2 \times 2 = 4 \] \[ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \times 4 \times 2\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \] 3. Tính thể tích khối chóp D.SAC: - Thể tích khối chóp D.SAC: \[ V_{D.SAC} = \frac{1}{3} \times S_{SAC} \times d(D, (SAC)) \] \[ V_{D.SAC} = \frac{1}{3} \times 2\sqrt{6} \times d(D, (SAC)) \] 4. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC): - Ta biết rằng: \[ V_{SABCD} = V_{SABC} + V_{D.SAC} \] \[ \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3} \times 4 \times 2\sqrt{3} + \frac{1}{3} \times 2\sqrt{6} \times d(D, (SAC)) \] \[ \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} + \frac{2\sqrt{6}}{3} \times d(D, (SAC)) \] \[ 0 = \frac{2\sqrt{6}}{3} \times d(D, (SAC)) \] \[ d(D, (SAC)) = \frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \] Vậy khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC) là \( 2.83 \).