Chứng minh rằng: a³b - ab³ chia hết cho 6 với mọi số nguyên a, b

Để chứng minh rằng \(a^3b - ab^3\) chia hết cho 6 với mọi số nguyên \(a\) và \(b\), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta viết lại biểu thức \(a^3b - ab^3\) dưới dạng nhân với \(ab\): \[a^3b - ab^3 = ab(a^2 - b^2)\] Bước 2: Ta nhận thấy rằng \(a^2 - b^2\) là hiệu hai bình phương, do đó có thể phân tích thành nhân tử: \[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\] Vậy: \[a^3b - ab^3 = ab(a - b)(a + b)\] Bước 3: Ta sẽ chứng minh rằng \(ab(a - b)(a + b)\) chia hết cho 6. Để làm điều này, ta cần chứng minh rằng biểu thức này chia hết cho cả 2 và 3. - Chia hết cho 2: Trong các số \(a\), \(b\), \(a - b\), và \(a + b\), ít nhất một trong chúng phải là số chẵn. Vì vậy, tích của chúng sẽ chia hết cho 2. - Chia hết cho 3: Trong các số \(a\), \(b\), \(a - b\), và \(a + b\), ít nhất một trong chúng phải là số chia hết cho 3. Vì vậy, tích của chúng sẽ chia hết cho 3. Do đó, \(ab(a - b)(a + b)\) chia hết cho cả 2 và 3, suy ra nó chia hết cho 6. Kết luận: \(a^3b - ab^3\) chia hết cho 6 với mọi số nguyên \(a\) và \(b\).