BCho đường tròn $(\mathrm{O})$ bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm $\mathrm{M}(\mathrm{M}$ khác O$)$. CM cắt $(\mathrm{O})$ tại N . Đường thẳng vuông g...

1) Ta có $\angle ONP = 90^\circ$ (do $NP$ là tiếp tuyến của $(O)$)

$\angle OMP = 90^\circ$ (giả thiết)

$\rightarrow N, M$ cùng nhìn cạnh $PO$ dưới một góc bằng $90^\circ$ nên $OMNP$ nội tiếp đường tròn đường kính $(PO)$

2) Do $AB, CD$ là hai đường kính vuông góc với nhau nên $AB \perp CD$ và có $MP \perp AB$ (giả thiết)

Nên $MP // OC$ (1)

Ta có: $\angle OPM = \angle ONM$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $MO$ của đường tròn đường kính $(PO)$)

Mà $\angle ONM = \angle OCN$ (do $\triangle ONC$ cân đỉnh $O$ ($ON = OC = R$))

Từ hai điều trên $\rightarrow \angle OPM = \angle OCM$

$\Rightarrow \angle POM = \angle CMO$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau $\angle OPM = \angle OCM$ cmt) mà chúng ở vị trí so le trong

$\Rightarrow PO // MC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $CMPO$ là hình bình hành.

3) Xét $\triangle ACNO$ và $\triangle CDM$ có:

$\widehat{C}$ chung

$\angle CNO = \angle CDM$ (cùng = $\angle OCN$, $\triangle AMDO$ cân đỉnh $M$ vì có $MO$ vừa là trung tuyến và đường cao)

$\Rightarrow \frac{CN}{CD} = \frac{CO}{CM}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow CN.CM = CD.CO = 2R.R = 2R^2$ không phụ thuộc vào vị trí của $M$.

4) Tứ giác $CMPO$ là hình bình hành nên $PM = OC = DO$ mà $PM // OD$

$\rightarrow PMOD$ là hình bình hành có thêm $\angle PMO = \angle MOD = 90^\circ$

Nên $PMOD$ là hình chữ nhật nên $\angle PDO = 90^\circ \rightarrow PD \perp OD$

$\rightarrow PD$ là tiếp tuyến của $(O)$ tiếp điểm $D$ là đường thẳng cố định.