Câu 12.
Ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton để khai triển biểu thức . Công thức nhị thức Newton cho khai triển là:
Trong đó là hệ số nhị thức, được tính bằng công thức:
Áp dụng công thức này cho , ta có:
Bây giờ, ta sẽ tính từng hạng tử trong tổng này:
1. Khi :
2. Khi :
3. Khi :
4. Khi :
5. Khi :
6. Khi :
Gộp tất cả các hạng tử lại, ta có:
Vậy đáp án đúng là:
D.
Đáp án: D.
Câu 13.
Để tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng và , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định hệ số góc của mỗi đường thẳng.
Đường thẳng có dạng . Vậy hệ số góc của là .
Đường thẳng có dạng . Vậy hệ số góc của là .
Bước 2: Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng.
Công thức tính góc giữa hai đường thẳng và là:
Thay và vào công thức:
Bước 3: Tìm góc từ giá trị của .
Biết rằng , ta có:
Vậy góc tạo bởi giữa hai đường thẳng và là .
Đáp án đúng là: B. .
Câu 14.
Để giải bài toán này, chúng ta cần tính số cách chọn ra một đôi nam nữ từ 20 nam và 18 nữ.
Bước 1: Chọn 1 nam từ 20 nam.
Số cách chọn 1 nam từ 20 nam là:
Bước 2: Chọn 1 nữ từ 18 nữ.
Số cách chọn 1 nữ từ 18 nữ là:
Bước 3: Tính tổng số cách chọn ra một đôi nam nữ.
Số cách chọn ra một đôi nam nữ là:
Vậy, số cách chọn ra một đôi nam nữ để khiêu vũ là 360.
Đáp án đúng là: A.
Câu 15.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tổ hợp để tính số cách chọn 2 viên bi từ 7 viên bi đỏ.
Công thức tổ hợp để chọn vật từ vật là:
Trong bài toán này, và . Ta thay vào công thức:
Tính giai thừa:
Do đó:
Vậy có 21 cách chọn 2 viên bi từ 7 viên bi đỏ.
Đáp án đúng là: D. 21
Câu 16.
Để tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng , ta cần xác định các hệ số của và trong phương trình này.
Phương trình đường thẳng đã cho là:
Trong phương trình này, hệ số của là 2 và hệ số của là -3. Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng này sẽ có dạng , trong đó là hệ số của và là hệ số của .
Vậy, vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
Do đó, đáp án đúng là:
B.
Đáp án: B.
Câu 17.
Để tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng , ta sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm của hai điểm và :
Trong đó:
- có và
- có và
Áp dụng công thức trên:
Tính toán từng phần:
Vậy tọa độ trung điểm là:
Do đó, đáp án đúng là:
C.
Câu 18.
Để tìm tọa độ của , ta cần biết rằng .
Bước 1: Xác định tọa độ của và :
-
-
Bước 2: Tính tổng của hai véc-tơ và :
- Tọa độ của sẽ là , trong đó:
-
-
Do đó, tọa độ của là .
Nhưng trong các lựa chọn đã cho, không có đáp án nào đúng là . Vì vậy, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, ta thấy rằng không có đáp án nào đúng.
Đáp án: Không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho.
Câu 19.
Để giải bài toán này, chúng ta cần tính tổng số học sinh nam và nữ trong khối 10 để biết nhà trường có bao nhiêu cách chọn một học sinh đi dự dạ hội.
Bước 1: Tính tổng số học sinh nam và nữ trong khối 10.
- Số học sinh nam: 180
- Số học sinh nữ: 225
Tổng số học sinh trong khối 10 là:
Bước 2: Kết luận số cách chọn một học sinh đi dự dạ hội.
Nhà trường có 405 cách chọn một học sinh từ khối 10 để đi dự dạ hội.
Vậy đáp án đúng là: B. 405.
Câu 20.
Ta sẽ khai triển nhị thức Niu-tơn của theo công thức đã biết.
Như vậy, trong khai triển này có ba số hạng là , , và .
Do đó, đáp án đúng là:
B. 3.
Đáp số: B. 3.
Câu 21.
Để tìm tọa độ trọng tâm của tam giác , ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của một tam giác. Nếu , , và là ba đỉnh của tam giác, thì tọa độ trọng tâm sẽ là:
Áp dụng công thức này cho tam giác :
-
-
-
Tọa độ -toạ độ của trọng tâm là:
Tọa độ -toạ độ của trọng tâm là:
Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác là .
Do đó, đáp án đúng là:
A.
Câu 22.
Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình tham số , ta cần xác định các hệ số của tham số trong phương trình tham số.
Phương trình tham số của đường thẳng đã cho là:
Trong đó, là tham số. Ta thấy rằng:
- Khi thay đổi, thay đổi theo hệ số 3.
- Khi thay đổi, thay đổi theo hệ số -5.
Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng này sẽ có dạng .
Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có vectơ . Chúng ta cần kiểm tra lại các lựa chọn đã cho để xem liệu có vectơ nào tương đương với không.
Các lựa chọn đã cho là:
A.
B.
C.
D.
Trong các lựa chọn này, không có vectơ nào tương đương với . Do đó, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các lựa chọn đã cho.
Tuy nhiên, nếu chúng ta giả sử rằng có một lỗi trong đề bài và các lựa chọn đã cho, thì vectơ chỉ phương đúng của đường thẳng là .
Vậy, đáp án đúng là:
Câu 23.
Để sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc, ta cần tính số cách sắp xếp các học sinh này theo thứ tự từ trái sang phải hoặc từ phải sang trái.
Số cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc là số hoán vị của 5 học sinh, tức là 5!.
Ta có:
Vậy có 120 cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc.
Do đó, đáp án đúng là B. 5!.
Đáp số: B. 5!.
Câu 24.
Để tìm tọa độ của vectơ , ta thực hiện phép cộng từng thành phần của hai vectơ và .
Tọa độ của là và tọa độ của là .
Ta có:
Thực hiện phép tính:
Vậy tọa độ của là .
Do đó, đáp án đúng là:
C.
Câu 25.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tổ hợp để tính số cách chọn 3 học sinh từ 10 học sinh.
Công thức tổ hợp được viết là:
Trong đó:
- là tổng số phần tử trong tập hợp ban đầu (ở đây là 10 học sinh).
- là số phần tử cần chọn (ở đây là 3 học sinh).
Áp dụng công thức vào bài toán:
Tính giai thừa:
Do đó:
Vậy số cách chọn 3 học sinh từ 10 học sinh để trực nhật là 120.
Đáp án đúng là: D. 120.
Câu 26.
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng và , ta cần so sánh các hệ số của chúng.
Phương trình của đường thẳng là:
Phương trình của đường thẳng là:
Ta viết lại phương trình của dưới dạng:
Bây giờ, ta so sánh các hệ số của hai phương trình này:
- Hệ số của trong là 1, trong là 3.
- Hệ số của trong là -2, trong là 6.
- Hệ số tự do trong là 1, trong là 10.
Ta thấy rằng:
Từ đây, ta nhận thấy rằng các hệ số của và trong hai phương trình là tỉ lệ với nhau, nhưng hệ số tự do không tỉ lệ với nhau. Điều này cho thấy hai đường thẳng song song với nhau.
Vậy đáp án đúng là:
C. Song song.