giải đề thi toán

Câu 11: Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình hộp ABCD.A'B'C'D' có 6 mặt đều là hình vuông, tức là nó là một hình lập phương. Trong hình lập phương, các đường chéo của các mặt vuông góc với nhau. Do đó, ta cần tìm đường thẳng nào trong các lựa chọn đã cho là đường chéo của một mặt và vuông góc với AC. - A'.C' là đường chéo của mặt A'B'C'D', nhưng không vuông góc với AC. - A'.B' là cạnh của hình lập phương, không phải là đường chéo của bất kỳ mặt nào, do đó không thể vuông góc với AC. - B'.D' là đường chéo của mặt B'C'D'A', và nó vuông góc với AC vì AC là đường chéo của mặt ABCD. - A'.D' là đường chéo của mặt A'B'C'D', nhưng không vuông góc với AC. Do đó, đường thẳng vuông góc với AC là B'.D'. Đáp án đúng là: C. B'.D'. Câu 12: Trước tiên, ta xét từng khẳng định một để kiểm tra xem chúng có đúng hay sai. A. \( CD \bot (SAD) \) - Vì đáy ABCD là hình vuông nên \( CD \bot AD \). - Mặt khác, \( SA \bot (ABCD) \) nên \( SA \bot CD \). - Kết hợp hai điều trên, ta có \( CD \bot (SAD) \). B. \( SA \bot (ABC) \) - Theo đề bài, \( SA \bot (ABCD) \), do đó \( SA \bot (ABC) \). C. \( BC \bot (SAB) \) - Vì đáy ABCD là hình vuông nên \( BC \bot AB \). - Mặt khác, \( SA \bot (ABCD) \) nên \( SA \bot BC \). - Kết hợp hai điều trên, ta có \( BC \bot (SAB) \). D. \( AC \bot (SBD) \) - Ta cần kiểm tra xem \( AC \) có vuông góc với cả \( SB \) và \( BD \) hay không. - \( AC \) là đường chéo của hình vuông ABCD, do đó \( AC \bot BD \). - Tuy nhiên, \( SA \bot (ABCD) \) nên \( SA \bot BD \), nhưng không chắc chắn rằng \( AC \bot SB \). Do đó, khẳng định D là sai vì không thể chắc chắn rằng \( AC \bot SB \). Đáp án: D. \( AC \bot (SBD) \). Câu 1. Phương trình $\log_2(x^2-4x+5)=1$ Điều kiện: $x^2 - 4x + 5 > 0$ (luôn đúng với mọi x) a) Phương trình (1) tương đương với phương trình $x^2-4x+5=2$. $\log_2(x^2-4x+5)=1$ $\Rightarrow x^2 - 4x + 5 = 2^1$ $\Rightarrow x^2 - 4x + 5 = 2$ Do đó, phương án này đúng. b) Phương trình (1) tương đương với phương trình $\log_2(x^2-4x+5)=\log_21$. $\log_2(x^2-4x+5)=1$ $\Rightarrow \log_2(x^2-4x+5)=\log_22$ Do đó, phương án này sai. c) Phương trình (1) có một nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$. $x^2 - 4x + 5 = 2$ $\Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$ $\Rightarrow (x - 1)(x - 3) = 0$ $\Rightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$ Nghiệm $x = 1$ thuộc khoảng $(0;2)$, do đó phương án này đúng. d) Tổng bình phương các nghiệm của phương trình (1) bằng 10. Các nghiệm của phương trình là $x = 1$ và $x = 3$. Tổng bình phương các nghiệm: $1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$ Do đó, phương án này đúng. Kết luận: Các phương án đúng là a, c, d. Câu 2. a) Ta có SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC, do đó SA vuông góc với AB. Vì tam giác SAB có SA vuông góc với AB nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A. b) Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại C nên BC vuông góc với AC. Mặt khác, SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC, do đó SA vuông góc với BC. Vậy BC vuông góc với cả hai đường thẳng SA và AC nằm trong mặt phẳng (SAC), suy ra BC vuông góc với mặt phẳng (SAC). c) Vì BC vuông góc với mặt phẳng (SAC), do đó BC vuông góc với SC. Vì tam giác SBC có BC vuông góc với SC nên tam giác SBC là tam giác vuông tại C. d) Vì AK là hình chiếu của A trên cạnh SC, do đó AK vuông góc với SC. Mặt khác, vì BC vuông góc với mặt phẳng (SAC), do đó BC vuông góc với AK. Vậy AK vuông góc với cả hai đường thẳng SC và BC nằm trong mặt phẳng (SCB), suy ra AK vuông góc với SB.