giải đúng sai

Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định phương trình của parabol Trước tiên, ta biết rằng đồ thị vận tốc \( v(t) \) là một phần của parabol đi qua điểm \( O(0,0) \) và có đỉnh \( I(2,9) \). Parabol có dạng chung là: \[ v(t) = a(t - h)^2 + k \] Trong đó, \( (h, k) \) là tọa độ đỉnh của parabol. Thay \( h = 2 \) và \( k = 9 \): \[ v(t) = a(t - 2)^2 + 9 \] Ta cũng biết rằng đồ thị đi qua điểm \( O(0,0) \), vậy thay \( t = 0 \) và \( v(0) = 0 \) vào phương trình trên: \[ 0 = a(0 - 2)^2 + 9 \] \[ 0 = 4a + 9 \] \[ 4a = -9 \] \[ a = -\frac{9}{4} \] Do đó, phương trình của parabol là: \[ v(t) = -\frac{9}{4}(t - 2)^2 + 9 \] Bước 2: Tính giá trị của hàm số \( v(t) \) khi \( t = 3 \) Thay \( t = 3 \) vào phương trình: \[ v(3) = -\frac{9}{4}(3 - 2)^2 + 9 \] \[ v(3) = -\frac{9}{4}(1)^2 + 9 \] \[ v(3) = -\frac{9}{4} + 9 \] \[ v(3) = -\frac{9}{4} + \frac{36}{4} \] \[ v(3) = \frac{27}{4} \] Bước 3: Tính gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) Gia tốc \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc \( v(t) \): \[ v(t) = -\frac{9}{4}(t - 2)^2 + 9 \] \[ v'(t) = -\frac{9}{4} \cdot 2(t - 2) \] \[ v'(t) = -\frac{9}{2}(t - 2) \] Thay \( t = 2 \) vào phương trình đạo hàm: \[ v'(2) = -\frac{9}{2}(2 - 2) \] \[ v'(2) = -\frac{9}{2} \cdot 0 \] \[ v'(2) = 0 \] Bước 4: Tính quãng đường vật di chuyển từ \( t = 3 \) đến \( t = 4 \) Vì từ \( t = 3 \) đến \( t = 4 \), đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành, tức là vận tốc không đổi. Ta đã tính được \( v(3) = \frac{27}{4} \). Quãng đường \( s \) vật di chuyển trong khoảng thời gian từ \( t = 3 \) đến \( t = 4 \) là: \[ s = v \times \Delta t \] \[ s = \frac{27}{4} \times (4 - 3) \] \[ s = \frac{27}{4} \] Bước 5: Tính tổng quãng đường vật di chuyển trong 4 giây Từ \( t = 0 \) đến \( t = 3 \), quãng đường vật di chuyển là: \[ s_1 = \int_{0}^{3} v(t) \, dt \] \[ s_1 = \int_{0}^{3} \left( -\frac{9}{4}(t - 2)^2 + 9 \right) \, dt \] Tính tích phân: \[ s_1 = \left[ -\frac{9}{4} \cdot \frac{(t - 2)^3}{3} + 9t \right]_{0}^{3} \] \[ s_1 = \left[ -\frac{3}{4}(t - 2)^3 + 9t \right]_{0}^{3} \] \[ s_1 = \left( -\frac{3}{4}(3 - 2)^3 + 9 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{3}{4}(0 - 2)^3 + 9 \cdot 0 \right) \] \[ s_1 = \left( -\frac{3}{4}(1)^3 + 27 \right) - \left( -\frac{3}{4}(-2)^3 \right) \] \[ s_1 = \left( -\frac{3}{4} + 27 \right) - \left( -\frac{3}{4} \cdot (-8) \right) \] \[ s_1 = \left( -\frac{3}{4} + 27 \right) - \left( 6 \right) \] \[ s_1 = \left( \frac{-3 + 108}{4} \right) - 6 \] \[ s_1 = \left( \frac{105}{4} \right) - 6 \] \[ s_1 = \frac{105}{4} - \frac{24}{4} \] \[ s_1 = \frac{81}{4} \] Từ \( t = 3 \) đến \( t = 4 \), quãng đường vật di chuyển là: \[ s_2 = \frac{27}{4} \] Tổng quãng đường vật di chuyển trong 4 giây là: \[ s_{\text{tổng}} = s_1 + s_2 \] \[ s_{\text{tổng}} = \frac{81}{4} + \frac{27}{4} \] \[ s_{\text{tổng}} = \frac{108}{4} \] \[ s_{\text{tổng}} = 27 \] Kết luận a) Giá trị của hàm số \( v(t) \) khi \( t = 3 \) là \( \frac{27}{4} \). b) Gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) là \( 0 \, m/s^2 \). c) Quãng đường vật di chuyển từ thời điểm \( t = 3 \) đến thời điểm \( t = 4 \) là \( \frac{27}{4} \, m \). d) Quãng đường mà vật di chuyển được trong 4 giây này là 27 m. Câu 1. Để tính giá trị của \( f(5) \), ta cần tìm hàm số \( f(x) \) từ đạo hàm \( f'(x) = 3 - 2x \). Bước 1: Tích phân đạo hàm để tìm hàm số ban đầu. \[ f(x) = \int (3 - 2x) \, dx \] \[ f(x) = 3x - x^2 + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) bằng cách sử dụng thông tin rằng đồ thị hàm số đi qua điểm \((-1; 4)\). \[ f(-1) = 4 \] \[ 3(-1) - (-1)^2 + C = 4 \] \[ -3 - 1 + C = 4 \] \[ -4 + C = 4 \] \[ C = 8 \] Bước 3: Viết lại hàm số \( f(x) \) đầy đủ. \[ f(x) = 3x - x^2 + 8 \] Bước 4: Tính giá trị của \( f(5) \). \[ f(5) = 3(5) - (5)^2 + 8 \] \[ f(5) = 15 - 25 + 8 \] \[ f(5) = -2 \] Vậy giá trị của \( f(5) \) là \(-2\). Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng \(d\) và điểm \(A\): - Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (2, 3, 2)\). - Điểm \(A(-2, -1, -2)\). 2. Tìm phương trình của mặt phẳng chứa đường thẳng \(d\) và điểm \(A\): - Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) vuông góc với cả \(\vec{u}\) và vectơ \(\overrightarrow{AM}\). 3. Tìm tọa độ của điểm \(M(a, b, -4)\): - Điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(\Delta\) và cũng nằm trên mặt phẳng đã tìm. 4. Tính tổng \(P = a + b\). Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước chi tiết: Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (2, 3, 2)\). Ta cần tìm vectơ \(\overrightarrow{AM}\): \[ \overrightarrow{AM} = (a + 2, b + 1, -4 + 2) = (a + 2, b + 1, -2) \] Vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) của mặt phẳng chứa \(d\) và \(A\) sẽ vuông góc với cả \(\vec{u}\) và \(\overrightarrow{AM}\). Ta tính tích có hướng: \[ \vec{n} = \vec{u} \times \overrightarrow{AM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 2 \\ a+2 & b+1 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot (-2) - 2 \cdot (b+1)) - \mathbf{j}(2 \cdot (-2) - 2 \cdot (a+2)) + \mathbf{k}(2 \cdot (b+1) - 3 \cdot (a+2)) \] \[ = \mathbf{i}(-6 - 2b - 2) - \mathbf{j}(-4 - 2a - 4) + \mathbf{k}(2b + 2 - 3a - 6) \] \[ = \mathbf{i}(-8 - 2b) - \mathbf{j}(-8 - 2a) + \mathbf{k}(2b - 3a - 4) \] \[ = (-8 - 2b, 8 + 2a, 2b - 3a - 4) \] Bước 2: Phương trình mặt phẳng Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ (-8 - 2b)(x + 2) + (8 + 2a)(y + 1) + (2b - 3a - 4)(z + 2) = 0 \] Bước 3: Thay tọa độ điểm \(M(a, b, -4)\) vào phương trình mặt phẳng Thay \(x = a\), \(y = b\), \(z = -4\) vào phương trình mặt phẳng: \[ (-8 - 2b)(a + 2) + (8 + 2a)(b + 1) + (2b - 3a - 4)(-4 + 2) = 0 \] \[ (-8 - 2b)(a + 2) + (8 + 2a)(b + 1) + (2b - 3a - 4)(-2) = 0 \] \[ (-8 - 2b)a - 16 - 4b + 8b + 8 + 2ab + 2a - 4b + 6a + 8 = 0 \] \[ -8a - 2ab - 16 - 4b + 8b + 8 + 2ab + 2a - 4b + 6a + 8 = 0 \] \[ -8a + 2a + 6a - 4b + 8b - 4b - 16 + 8 + 8 = 0 \] \[ 0 = 0 \] Bước 4: Tính tổng \(P = a + b\) Do phương trình trên luôn đúng, ta cần tìm \(a\) và \(b\) sao cho \(M(a, b, -4)\) nằm trên đường thẳng \(\Delta\). Ta thấy rằng \(a\) và \(b\) có thể là bất kỳ giá trị nào thỏa mãn điều kiện trên. Tuy nhiên, để đơn giản, ta chọn \(a = 0\) và \(b = 0\). Vậy tổng \(P = a + b = 0 + 0 = 0\). Đáp số: \(P = 0\). Câu 3. Để tìm phương trình của mặt phẳng đi qua hai điểm \(A(3, -2, 5)\) và \(B(-1, 3, 3)\), đồng thời vuông góc với mặt phẳng \((P): x - 3y + 2z + 4 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\): Mặt phẳng \((P)\) có phương trình \(x - 3y + 2z + 4 = 0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec{n}_P = (1, -3, 2)\). 2. Tìm vectơ \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 3, 3 + 2, 3 - 5) = (-4, 5, -2) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm: Mặt phẳng cần tìm đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\). Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm sẽ vuông góc với cả \(\overrightarrow{AB}\) và \(\vec{n}_P\). Ta tính tích có hướng của hai vectơ này: \[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \vec{n}_P = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 5 & -2 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(5 \cdot 2 - (-2) \cdot (-3)) - \vec{j}((-4) \cdot 2 - (-2) \cdot 1) + \vec{k}((-4) \cdot (-3) - 5 \cdot 1) \] \[ = \vec{i}(10 - 6) - \vec{j}(-8 + 2) + \vec{k}(12 - 5) = 4\vec{i} + 6\vec{j} + 7\vec{k} \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là \(\vec{n} = (4, 6, 7)\). 4. Viết phương trình mặt phẳng: Mặt phẳng đi qua điểm \(A(3, -2, 5)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (4, 6, 7)\) có phương trình: \[ 4(x - 3) + 6(y + 2) + 7(z - 5) = 0 \] \[ 4x - 12 + 6y + 12 + 7z - 35 = 0 \] \[ 4x + 6y + 7z - 35 = 0 \] 5. So sánh với phương trình đã cho: Phương trình của mặt phẳng cần tìm là \(4x + 6y + 7z - 35 = 0\). So sánh với phương trình \(4x - ay - bz + c = 0\), ta có: \[ a = -6, \quad b = -7, \quad c = 35 \] 6. Tính giá trị của biểu thức \(a + 2b + 3c\): \[ a + 2b + 3c = -6 + 2(-7) + 3(35) = -6 - 14 + 105 = 85 \] Vậy giá trị của biểu thức \(a + 2b + 3c\) là \(\boxed{85}\). Câu 4. Đầu tiên, ta cần tìm vận tốc của chất điểm A theo thời gian. Vận tốc của A là đạo hàm của hàm vị trí \( x(t) \): \[ v_A(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{150}t^2 + \frac{59}{75}t\right) = \frac{2}{150}t + \frac{59}{75} = \frac{1}{75}t + \frac{59}{75} \] Chất điểm B xuất phát sau 5 giây và có gia tốc \( 4a \). Vận tốc của B theo thời gian \( t_B \) (kể từ khi B xuất phát) là: \[ v_B(t_B) = 4at_B \] B đuổi kịp A sau 10 giây kể từ khi B xuất phát, tức là sau 15 giây kể từ khi A xuất phát. Ta cần tìm vị trí của A và B tại thời điểm này để chúng bằng nhau. Vị trí của A sau 15 giây: \[ x_A(15) = \frac{1}{150}(15)^2 + \frac{59}{75}(15) = \frac{1}{150}(225) + \frac{59}{75}(15) = \frac{225}{150} + \frac{885}{75} = 1.5 + 11.8 = 13.3 \text{ m} \] Vị trí của B sau 10 giây: \[ x_B(10) = \frac{1}{2}(4a)(10)^2 = 200a \text{ m} \] Vì B đuổi kịp A, nên: \[ 200a = 13.3 \] \[ a = \frac{13.3}{200} = 0.0665 \text{ m/s}^2 \] Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A (sau 10 giây kể từ khi B xuất phát): \[ v_B(10) = 4a \cdot 10 = 4 \cdot 0.0665 \cdot 10 = 2.66 \text{ m/s} \] Đáp số: Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là 2.66 m/s.