Lớp 12 cứu cứu

Câu 11: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = -x^4 + 12x^2 + 1 \) trên đoạn \([-1; 2]\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^4 + 12x^2 + 1) = -4x^3 + 24x \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = -4x^3 + 24x = 0 \] \[ -4x(x^2 - 6) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = 6 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \sqrt{6} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{6} \] Trong đó, chỉ có \( x = 0 \) nằm trong đoạn \([-1; 2]\). Bước 3: Đánh giá giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn: - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = -(0)^4 + 12(0)^2 + 1 = 1 \] - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = -(-1)^4 + 12(-1)^2 + 1 = -1 + 12 + 1 = 12 \] - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = -(2)^4 + 12(2)^2 + 1 = -16 + 48 + 1 = 33 \] Bước 4: So sánh các giá trị đã tính: - \( f(0) = 1 \) - \( f(-1) = 12 \) - \( f(2) = 33 \) Từ đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = -x^4 + 12x^2 + 1 \) trên đoạn \([-1; 2]\) là 33, đạt được khi \( x = 2 \). Đáp án đúng là: D. 33. Câu 12: Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{-x^2 + 2x + 5}{x + 1} \), ta thực hiện phép chia đa thức như sau: 1. Phép chia đa thức: Ta chia \(-x^2 + 2x + 5\) cho \(x + 1\). \[ \begin{array}{r|rrrr} & -x & +3 \\ \hline x+1 & -x^2 & +2x & +5 \\ & -x^2 & -x & \\ \hline & & 3x & +5 \\ & & 3x & +3 \\ \hline & & & 2 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là: \[ \frac{-x^2 + 2x + 5}{x + 1} = -x + 3 + \frac{2}{x + 1} \] 2. Xác định tiệm cận xiên: Khi \( x \to \pm \infty \), phần dư \(\frac{2}{x + 1}\) sẽ tiến đến 0. Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = -x + 3 \] Vậy đáp án đúng là: C. \( (d)~y = -x + 3 \). Câu 1. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề một. Mệnh đề a) Tập xác định của hàm số $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}$ là $D=\mathbb R\setminus\{1\}$. Đạo hàm của hàm số này là: \[ y' = \left(\frac{x^2 + x - 1}{x - 1}\right)' = \frac{(2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x - 1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 + x - 2x - 1 - x^2 - x + 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} \] Do đó, mệnh đề a) là đúng. Mệnh đề b) Để kiểm tra tâm đối xứng của đồ thị (C), ta cần kiểm tra tính chất của hàm số. Ta thấy rằng: \[ y = \frac{x^2 + x - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 2) + 1}{x - 1} = x + 2 + \frac{1}{x - 1} \] Hàm số này có dạng $y = f(x) = x + 2 + \frac{1}{x - 1}$. Ta thấy rằng nếu ta thay $x$ bằng $2 - x$, ta có: \[ f(2 - x) = (2 - x) + 2 + \frac{1}{(2 - x) - 1} = 4 - x + \frac{1}{1 - x} = 4 - x - \frac{1}{x - 1} \] Do đó, ta thấy rằng: \[ f(x) + f(2 - x) = \left(x + 2 + \frac{1}{x - 1}\right) + \left(4 - x - \frac{1}{x - 1}\right) = 6 \] Như vậy, tâm đối xứng của đồ thị (C) là điểm $I(1; 3)$. Mệnh đề b) là đúng. Mệnh đề c) Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(1; +\infty)$. Ta đã tính đạo hàm của hàm số là: \[ y' = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm các điểm cực tiểu của hàm số. Ta thấy rằng: \[ y' = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Tuy nhiên, $x = 0$ không thuộc khoảng $(1; +\infty)$. Do đó, ta chỉ xét $x = 2$. Khi $x = 2$, ta có: \[ y(2) = \frac{2^2 + 2 - 1}{2 - 1} = \frac{4 + 2 - 1}{1} = 5 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(1; +\infty)$ là 5. Mệnh đề c) là đúng. Mệnh đề d) Ta cần tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị (C). Ta đã tìm được các điểm cực trị là $x = 0$ và $x = 2$. Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm này: \[ y(0) = \frac{0^2 + 0 - 1}{0 - 1} = 1 \] \[ y(2) = 5 \] Do đó, hai điểm cực trị là $A(0; 1)$ và $B(2; 5)$. Ta tính khoảng cách giữa hai điểm này: \[ AB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Do đó, mệnh đề d) là sai. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là đúng. - Mệnh đề d) là sai.